dérivées (suite)

[Julia]

Bonjour, alors mon prof de maths nous a donné un devoir maison composé de 4 exercices. Parmi ces 4 exercices les trois premiers sont très simples par contre le dernier est beaucoup plus compliqué c'est pour cela que je n'avance pas je ne sais sur quelle piste m'engager. Cet exercice est le suivant:
Un homme symbolisé par le point A, est en plaine mer. Il doit rejoindre le point B situé sur le rivage symbolisé par la droite (HB), en un temps minimum. On donne AH= 1km et HB= 4km. Sachant qu'il se déplace dans l'eau à une vitesse de 3 km.h-1 et sur Terre à une vitesse de 7.km.h-1, où doit-il accoster?

Questions:
1 Calculer le temps mis par l'homme pour nager en ligne droite de A vers B.
2 Calculer le temps mis par l'homme pour nager en ligne droite de A vers H puis courir de H vers B.
3 On note x la distance HM, où M est un point du segment [HB] Calculer le temps mis par l'homme pour nager en ligne droite de A vers M puis courir de M vers B.
4 Etudier les variations de la fonction f qui a x fait correspondre le temps mis pour parcourir le distance AM+MB.
5 Déterminer la position du point M pour lequel le temps est minimum.
6 En déduire le temps minimum du trajet.

[Julia]

Figure de l'exercice

Voici l'image accompagnant mon exercice posté précédemment:

[SoS-Math(9)]

Bonjour Julia,

Quelles questions as-tu faites ?

SoSMath.

[Julia]

Bonsoir, je n'en ai fait aucune c'est pour cela que je sollicite votre aide.

Merci

[SoS-Math(9)]

Julia,

dans ton exercice il faut utiliser la relation suivante : \(t=\frac{d}{v}\) où \(t\) est la durée, \(d\) la distance et \(v\) la vitesse.

question 1 : calcule la distance AB, puis calcule le temps avec la relation ci-dessus.

SoSMath.

[Julia]

Bonsoir, alors pour la question 1 :
On sait que AH= 1 km et HB= 4km. D'après le théorème de Pythagore, on a: AB²= AH²+HB²
AB²= 1²+4²
AB²= 17
Donc, AB= racine carrée de 17 km.
On a la relation t=d/v ; sachant qu'il se déplace dans l'eau à une vitesse de 3km.h-1 on obtient donc:
t= racine carrée de 17/3 .

Est-ce juste???
Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Oui Julia.

Il faut continuer ainsi pour les autres questions.

SoSMath.

[Julia]

D'accord, merci donc pour la question 2:
AH= 1km HB= 4km
Alors pour nager en ligne droite de A vers H on fait t=d/v ce qui vaut t= 1/3
Et pour courir de H vers B on trouve, t= 4/7
Après pour la 3 je ne sais pas comment procéder et j'ai une petite question en plus aussi quelle est l'unité du temps??

Merci

[SoS-Math(9)]

Julia,

ton unité de temps est l'heure !
Par exemple t=1/3 h = 20 minutes.

Pour la question 3, c'est pareil ... mais avec des x !
Calcul AM en fonction de x, puis le temps t1 mis ...
Calcul BM en fonction de x, puis le temps t2 mis ...
Et donc le temps total sera t=t1+t2.

SoSMath.

[Julia]

Alors si j'ai bien compris pour la 3:
Soit x la distance HM alors pour calculer le temps pour nager en ligne droite de A vers M je fais:
D'après Pythagore, on a : AM²= AH²+HM² soit AM²= 1²+x² donc AM= x+1 alors t=d/v ce qui vaut t= (x+1)/3
Puis courir de M vers B on fait:
MB= HB-HM soit MB= 4-x alors t=d/v donc t= (4-x)/7

Par contre pour les questions 4, 5 et 6 je ne sais vraiment pas comment faire.
Merci d'avance
Julia

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Julia,

Tu ne peux pas écrire "AM²= 1²+x² donc AM= x+1" ...
AM²= 1²+x² donc \(AM=\sqrt{x^2+1}\) ce qui est totalement différent de x+1 ...

Pour la question 4, il faut dériver ta fonction f ...

SoSMath.

[Julia]

Bonjour, donc si j'ai bien compris AM²= AH²+HM² soit AM²= 1²+x² alors AM= racine carrée de x²+1
t= d/v donc t= (racine carrée de x²+1)/3

Puis pour courir de M vers B est-ce juste??

Pour la question 4 si mes 2 réponses sont justes alors je trouve:
Soit f la fonction qui a x fait correspondre t1+t2 soit (racine carrée de x²+1)/3 + (4-x)/7 par contre je ne sais pas si on peut les additionner entre de sorte à les simplifier.
Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Julia,

C'est très bien.
tu ne peux pas simplifier ta fonction f(x).
Il te reste à dériver ta fonction f pour trouver le minimum ...

SoSMath.

[Julia]

Bonjour, alors f(x)= (racine carrée de x²+1)/3 + (4-x)/7
Je pense qu'il utiliser la formule (u+v)'= u'+v' mais avec les x et les racines carrées de x je me perds.
Merci

[sos-math(27)]

Bonjour Julia, effectivement, c'est bien une somme (la division par 3 ou 7 ne change pas la nature de l'expression, car c'est comme multiplier par 1/3 ou 1/7)

Pour dériver l'expression avec la racine carré, il faut utiliser la formule : \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2u}\)

à bientôt, je reste à l'écoute !