Spé

[Camille]

Bonsoir, j'ai un dm de maths et le deuxième exercice que j'ai à faire me pose problème , c'est le numéro 20, en fait je ne sais pas comment démarrer cette démonstration par récurrence, pouvez vous juste m'expliquer par quoi commencer svp ?

[SoS-Math(30)]

Bonjour Camille,

Commence comme dans toute récurrence par l'initialisation en vérifiant la propriété à démontrer pour n = 1 ici.

SoSMath

[Camille]

Oui c'est ce que j'ai fais mais je bloque à l'héréditée je ne sais pas comment retrouver le résultat de Mˆn

[SoS-Math(9)]

Bonjour Camille,

Pour l'hérédité, tu suppose qu'il n tel que ta propriété soit vraie.
Donc \(M^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{2}- \frac{1}{2^{n+1}} & \frac{1}{2^n} &\frac{1}{2}- \frac{1}{2^{n+1}} \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Calcule alors \(M^{n+1}\) en utilisant \(M^n\) ...

SoSMath.

[Camille]

D'accord mais mon problème c'est que je ne comprends pas combien d'étape il y a dans cette héréditée, on passe de quoi à quoi pour le n+1 ??

[SoS-Math(9)]

Camille,

je ne comprends pas ta question .... "combien d'étapes" ?
Il faut calculer \(M^{n+1}\) et trouver le même résultat que pour \(M^n\) en remplaçant n par n+1 ...

SoSMath.

[Camille]

Je voulais savoir est ce que les lignes 1 et 3 de la matrcie changent ? et comment passer de n et n+1

[SoS-Math(9)]

Camille,

les ligne 1 et 3 ne vont pas changer si ta propriété est vraie (elles ne dépendent pas de n ...).
On passe de n à n+1 en calculant \(M^{n+1}\) à l'aide de \(M^n\) ....
Tu as \(M^{n+1}=M^n\times ...\) (je te laisse compléter.)

SoSMath.

[Camille]

Oui Mn+1=Mˆn x M mais quand je calcul la matrice je trouve ce résultat (photo) je ne comprends pas pourquoi je n'arrive pas à continuer cela ne me semble pas juste

[SoS-Math(9)]

Camille,

ton calcul est faux ....
Par exemple, j'ai : \((M^{n+1})_{2,1}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}})+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n}\) et non \((M^{n+1})_{2,1}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}})\times \frac{1}{4}\).
Recommence tes calculs !

SoSMath.

[Camille]

Je ne comprends pas votre raisonnement

[SoS-Math(30)]

Le calcul présenté est celui du coefficient de la 2ème ligne et de la 1ère colonne.
Revois la méthode de calcul d'un produit de matrices si c'est bien cela qui pose problème.
La méthode ne consiste pas à multiplier les coefficients de même position entre eux seulement.
Regarde dans ton cours ou dans ton livre.

SoSMath

[Camille]

je ne comprends pas d'où sort le 2,1 ? Et pourquoi on multilipe 1/4 par 1/2ˆn ?

[SoS-Math(30)]

C'est ce que je viens de t'expliquer. La notation 2,1 fait référence au coefficient de la 2ème ligne (d'où le 2) et de la 1ère colonne (d'où le 1).
Pour comprendre le calcul, tu dois revoir la méthode que tu as certainement étudiée en classe qui permet de calculer un produit entre deux matrices.
Encore une fois, regarde ton cours là-dessus et éventuellement ton manuel pour avoir la méthode et des exemples.

SoSMath

[Camille]

Je suis désolée mais je ne comprends vraiment pas la méthode