Tournoi de tennis

[Sophie]

Bonjour pourriez-vous m'aider ?
On organise un tournoi individuel de tennis avec 128 participants. Sachant que le chaque joueur ayant perdu une partie est éliminé quel est le nombre de parties du premier tour du deuxième tour du troisième tour ? Quel est le nombre total de parties à prévoir?

Reprendre l'énoncé précédent en remplaçant 128 participants par 2^n participants, ou n est un entier naturel non nul?

J'ai donc trouvé un nombre total de parties de 127. Et donc je pense pour 2^n , (2^n) -1
Mais comment expliquer cela?
En disant juste que 128=2^7 et qu'après observation 127=(2^7)-1
Le nombre de parties à prévoir est (2^n)-1?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Il faut utiliser la somme des termes d'une suite géométrique ....

SoSMath.

[Sophie]

Donc cette formule : (1-q^(n+1)/(1-q) ? Mais comment l'utiliser ?

[SoS-Math(9)]

Sophie,

trouve la suite géométrique et la valeur de sa raison q !

SoSMath.

[Sophie]

U ( n+1)= 1/2 x u n ?
Et q=-1/2 ?

[sos-math(27)]

Bonjour Sophie,
La raison est plutôt 1/2 ... attention.

Ensuite, ta formule est incomplète : la somme des termes est égale à :
\(S=u_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

à bientôt

[Sophie]

D'accord merci !
Mais u0 est égal à quoi ici ? Je ne vois pas...
Sinon S= u0x (1-1/2^(n+1))/1-q ?

[sos-math(27)]

Eh bien, avec 128 participants, combien de parties ont lieu au premier tour ??
à bientôt

[Sophie]

64 parties au premièr tour ! Ce qui ferait pour 2^n -> 2^n /2 ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Sophie,

oui !
dans le cas de 128 participants, \(u_0=\frac{128}{2}=64\)
et dans le cas de \(2^n\) participants, \(u_0=\frac{2^n}{2}=2^{n-1}\).

SoSMath.

[Sophie]

Merci !
Donc le nombre total de parties à prévoir est
2^(n )-1 ? Comment le justifier ?

[SoS-Math(9)]

Sophie,

Pour le justifier, pose ta suite géométrique (\(u_n\)) et utilise la formule de la somme ...

SoSMath.

[Sophie]

Comme u n+1= 1/2 . U n alors u n =u0.(1/2)^n
Donc u n =2^n .(1/2)^ n
Est-cela ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Sophie,

C'est presque juste ... il y a un problème avec l'indice.
Quand tu écris Un, n est la variable ...
Or \(u_0=2^{n-1}\) où n est un paramètre fixé (2^n est le nombre de joueurs et donc n est fixé).
Donc \(n\) n'est pas la variable ... il faut choisir une autre lettre ! Prenons par exemple \(p\).
D'où \(u_p=u_0 \times q^p = 2^{n-1} \times \frac{1}{2^p}=2^{n-1-p}\).

Alors S = \(u_0+u_1+...+u_{p-1}=...\)

SoSMath.

[Sophie]

Je ne comprends pas pourquoi u0= 2^n -1?