Suites

[Sophie]

Bonjour pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
On considère la suite définie par u0=4 zéro et, pour tout entier naturel n, un+1=-un au carré +2un-1.
Existe-t-il un entier naturel n tel que un> ou égal 4,1? (Indication : étudier les variations de cette suite.)

Je ne vois pas comment commencer cet exercice ... Pouvez-vous me donner des pistes svp ?
Merci !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Tout d'abord ta suite est-elle : \(u_{n+1}=-u_n^2+2u_n-1\) ou \(u_{n+1}=-u_n^2+2u_{n-1}\) ?

Ensuite, étudie les variations de ta suite (comme indiqué !). Donc il faut rechercher le signe de \(u_{n+1}-u_n\).

SoSMath.

[Sophie]

Ma suite est la première!
Merci de l'indication par contre comment faire puisque je n'ai pas (un) ?
Merci

[SoS-Math(9)]

Spohie,

Tu as \(u_{n+1}=-u_n^2+2u_n-1\)

Donc \(u_{n+1}-u_n=-u_n^2+2u_n-1-u_n=-u_n^2+u_n-1\)

Il te reste à trouver le signe de ton expression qui est de la forme ax²+bx+c ...

SoSMath.

[Sophie]

Merci donc ducoup le discriminant est négatif : -3 et la courbe est une parabole de sommet S (1/2;-3/4) donc la suite est croissante sur ]-l infini;1/2] et décroissante sur [1/2;+ l infini [ mais je ne vois pas comment continuer ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Il n'y a aucun rapport entre les variations de f(x) = -x²+x-1 et les variations de (Un) !
Ici il te faut le signe (et non les variations) de f(x) qui te donnera le signe de \(u_{n+1}−u_n\) et donc les variations de (Un).
tu vas montrer ainsi que (Un) est décroissante, donc pour tout n, Un < U0 = 4 ....

SoSMath.

[sophie]

merci,
donc u (n+1) - u n est négatif donc u (n+1)> u n
mais ensuite ?

[SoS-Math(9)]

Sophie,

je t'ai donné les indications ...
(Un) est décroissante, donc pour tout n, Un < U0 = 4
Donc l'inéquation Un >= 4,1 est ....
Je te laisse terminer !

SoSMath.

[Sophie]

Merci !
Ce n'est pas possible ?
Puisque pour tout n, u n <4 or 4,1>4 <=> u n < 4,1 ? Est-ce ceci ?

[SoS-Math(9)]

Oui Sophie,
ce n'est pas possible, donc il n'y a pas de solution !

SoSMath.

[Sophie]

D'accord Merci beaucoup !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Sophie.

SoSMath.

[Sophie]

je ne l'ai pas...
Il me semble que j'obtiens v n=(v(n+1))/3 ? Qu'en pensez-vous ?

[SoS-Math(9)]

Sophie,

Quel est le rapport avec ce sujet ?

SoSMath.

[Sophie]

Excusez-moi je me suis trompée de sujet !