Limites de fonctions

[Moi]

Graphique

Bonjour !

Je dois rendre cet exercice. J'aimerais bien savoir où j'ai fait des fautes.

"On considère la fonction f définie sur R\(1) par f(x)=2x+5-1/(x-1)²"

1) Représenter graphiquement la fonction f sur la calculatrice.
J'ai recopié le graphique obtenu que j'ai mis en pièce jointe.

2) Conjecturer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
Pour x tend vers -oo :
lim f(x)=-oo

Pour x tend vers +oo :
lim f(x)=+oo

Pour x tend vers 1 et x<1 :
lim( f(x)=-oo

Pour x tend vers 1 et x>1 :
lim f(x)= -oo

Je ne sais pas trop si c'est bon...

3) Tracer sur le même graphique la droite d'équation y=2x+5. Que remarque-t-on ?
La droite apparaît sur le schéma en pièce jointe.
J'hésite entre dire que la droite est asymptote oblique à la courbe de f ou tangente à cette courbe.

5) Déterminer par le calcul les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
En +oo :
lim 2x+5=+oo
lim 1=0
lim (x-1)²=+oo
Par produit, lim 1/(x-1)²=0 et par somme, lim f(x)=+oo

En -oo :
lim 2x+5=-oo
lim1=0
lim(x-1)² = +oo
Par quotient, lim1/(x-1)²=0 et par somme, lim f(x)=-oo

Après j'ai fait pour x tend vers 1 et j'ai trouvé une forme indéterminée que je n'arrive pas à changer :
lim 2x+5=7
lim 1=0
lim (x-1)²=0
Par quatioent, lim 1/(x-1)²= forme indéterminée

6) Déterminer les limites en -oo et en +oo de :
f(x)-2x+5)
Tout d'abord, j'ai fait :
f(x)-(2x+5)=2x+5-1/(x-1)²-(2x+5)=-1/(x-1)²
Je ne suis pas sûr que c'était ce qu'il fallait faire

En +oo :
lim -1=0
lim(x-1)²=+oo
Par quotient, lim1/(x-1)²=+oo donc lim f(x)-(2x+5)=+oo

En -oo :
lim -1=0
lim (x-1)²=+oo
Par quotient, lim -1/(x-1)²=+oo donc lim f(x)-(2x+5)=+oo

7) Etudier la position relative de la courbe c représentant la fonction f et de la droite (d) d'équation y=2x+5
Remarque : on dit que la droite (d) est asymptote oblique à la courbe C en +oo et en -oo.
Je ne comprends pas trop cette question...

Merci d'avance

[sos-math(27)]

Bonjour Moi (ce serait plus sympa de prendre un vrai prénom comme pseudonyme !!)

Ton travail est pas mal du tout !! bravo !

Rapidement,
à la question 5 : pour les bormes à l'infini, c'est bon.
Quand x tend vers1, tu dois utiliser la limite d'un inverse, avec le dénominateur qui tend vers 0, mais qui reste positif, ce qui donnera une limite égale à + infini...

Quand x tend vers 1 alors (x-1)² tend vers 0 mais reste positif, alors lim (1/(x-1)²) = + inf

Tu peux alors conclure pour la suite...

Enfin, sur la question 6), attention : f(x)-(2x+5)=-1/(x-1)² et à l'infini, comme (x-1)² tendra vers l'infini, alors 1/(x-1)² va tendre vers 0...
D'ailleurs c'est ce qui prouve que la droite y=2x+5 est asymptote à la courbe de f en + infni et en - infini.

La position relative de la courbe et de la droite asymptote sera donnée par le signe de f(x)-(2x+5)=yM-yD
M étant un point de la courbe et D un point de la droite
si yM-yD>0 alors la courbe est au dessus de la droite
si yM-yD<0 alors la courbe est au dessous de la droite.

C'est très classique. Essaie de bien voir la situation avec Geogebra par exemple.
à bientôt

[Moi]

Merci pour votre réponse !

Du coup, à la question 5, pour x tend vers 1, je dois juste écrire :
lim 2x+5=7
lim 1=0
lim (x-1)²=0+
Par quotient, lim 1/(x-1)²= +oo et par somme, lim f(x)=7 ?

Pour la question 6, la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à Cf car f(x)-y tend vers 0 en +oo et en -oo c'est bien ça ? Mais du coup pour la question 3 je met que je pense que la droite y=2x+5 est asymptote oblique à Cf ? Parce que ça me paraît bizarre d'écrire ça alors que l'énoncé nous le dit dans la remarque de la question 7...

[Moi]

Par contre j'ai du mal avec la dernière question : je dois prendre quelle valeurs pour yM-yD ?

Et sinon je dois étudier le signe de f(x)-2x+5, c'est-à-dire le signe de -1/(x-1)² ?

Du coup j'ai fait :
f(x)=-1/(x-1)² >0 si (x-1)² <0 et f(x)-2x+5<0 si (x-1)²>0. Comme (x-1)² est un carré, il est toujours positif.

Par conséquent f(x)-2x+5 sera toujours positif sur ]-oo;1[inter]1;+oo[ ? (on ne prend pas 1 car c'est une valeur interdite).
Et donc la courbe sera toujours au-dessous de la droite.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir MOI (?),

"7 - (+inf)" ne donne pas 7 ... mais - inf !

Pour la question 7:
Comme (1-x)² > 0 alors -1/(1-x)² < 0, donc f(x)-2x+5 < 0 (f(x)-2x+5 négatif), donc la courbe de f sera dessous celle de de l'asymptote !

SoSMath.

[Lucie]

Le lim f(x)=7 à la question 5 était une étourderie, désolée.
Est-ce que je dois aussi faire la limite de f(x) quand lim(x-1)²=0- aussi pour cette question ?
Par rapport à la question 7, il n'y a pas besoin de faire de tableau de signe ?
Merci de votre aide

[SoS-Math(9)]

Lucie,

lim(x-1)²=0- n'a pas de sens ... on a toujours lim(x-1)²=0+ car (x-1)² est toujours positif !

Pour la question, ce n'est pas utile de faire un tableau de signe ... la réponse est simple.

SoSMath.

[Lucie]

Oui je comprends.

Du coup si je met ça c'est bon ? :
Pour x tend vers 1 avec x>1 :
lim 2x+5=7
lim 1=0
lim(x-1)²=0+
Par quotient, lim 1/(x-1)²=+oo et par somme lim f(x)=-oo

Pour x tend vers 1 avec x<1 :
lim 2x+5=7
lim 1=0
lim (x-1)²=0+
Par quotient, lim 1/(x-1)²=+oo et par somme lim f(x)=-oo

[Lucie]

Ou il faut peut-être mieux formuler ça comme ça ? :

Quand x tend vers 1 :

On utilise la limite d'un inverse avec le dénominateur qui tend vers 0 mais reste toujours positif. Ainsi :

Pour x<1 :

lim (x-1)²=O+

Donc lim 1/(x-1)²=+oo

lim 2x+5=7

Par somme, lim f(x)=-oo

Pour x>1 :

lim (x-1)²=0+

Donc lim 1/(x-1)²=+oo

lim 2x+5=7

Par somme, lim f(x)=-oo

Je ne sais pas si la formulation a beaucoup d'importance mais on ne sait jamais... Du coup il faut mieux prendre laquelle des deux réponses que j'ai écrites ?

[SoS-Math(9)]

Lucie,

les deux écritures sont justes !
Donc tu peux écrire les deux !

SoSMath.

[Lucie]

Merci pour votre aide !
pour la question 3 j'ai mis que la droite (d) ressemble à un asymptote de la courbe de f aux voisinages de -oo et +oo. C'est juste ?

[SoS-Math(9)]

Oui Lucie.

SoSMath.

[Lucie]

Merci beaucoup.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Lucie,
SoSMath.