Dm suites

[Erwan]

Bonjour j'ai un sujet de DM me voici :
On considère me suite Un définie par Uo = 1,
Un+1=1+ 1/(Un + 1) avec le 1 pas en indice dans la fraction.
1)a)Calculer U1... U4 ainsi que U1^2 - 2 , U2^2 - 2 jusqu'à U4
b) que pouvez vous déduire du s'en DE variation?
c) montrer par récurrence
que 1<= Un<= 3/2
2)A) on définit la suite par Vn=(Un-racine de 2)/(Un+racine de 2)
Montrer que Vn est géométrique de raison q=(1-racine DE 2)/(1+racine de 2)
En déduire l'expression de Vn en fonction de N et sa limite
3a) montrer que pour tout n Un=racine de 2 x (1+Vn)/(1-Vn)
Tout cela est déjà fait il ne me manque plus que la dernière où je bloque
B) en déduire que racine de 2 -Un= 2q^n/(1+q^n)
Voila si vous pouviez m'aider pour cette dernière je vous en serait très reconnaissant.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Erwan,

Il y a un problème avec ta dernière formule : racine de 2 -Un= 2q^n/(1+q^n)
En effet pour n=0
racine de 2 -Un = racine de 2 -U0 = \(\sqrt{2}-1\)
et 2q^n/(1+q^n) = 2q^0/(1+q^0) = 2/1 = 2 ce qui est différent de \(\sqrt{2}-1\).

SoSMath.

[Erwan]

Bonjour, oui c'est exact, on vient de me dire qu'il y avait un problème avec l'énoncé finalement la question 3b est: exprimer racine de 2 - Un en fonction de q^n puis trouver sa limite!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Erwan,

tu sais que (Vn) est une suite géométrique de raison q, donc tu peux exprimer Vn en fonction de q et de n ... (formule à connaître).
Ensuite, tu connais Un en fonction de Vn donc tu vas pouvoir exprimer Un en fonction de q et de n.

SoSMath.

[Erwan]

Oui j'ai deja fait cela, je sais que Vn = [(1+racinede2)/(1-racinede2)]^(n+1)
Ensuite j'ai Vn= racinede2[(1+Vn)/(1-Vn)]
Donc je remplace dans cette expression Vn par ce que je sais et j'aurai obtenu Un en fonction de q^n ?

[SoS-Math(9)]

C'est ça Erwan !

SoSMath.