Probabilité conditionnelle

[Sarah]

Bonjour.

J'ai besoin d'aide pour un exercice sur les probabilités.
Voici le sujet :
On a deux pièces. La première pièce est parfaitement équilibrée (elle donne Pile et Face avec la même probabilité, qui est de 0,5). La seconde ne l'est pas : on a en effet trois fois plus de chances d'obtenir Face que Pile. On choisit une pièce au hasard et on la lance dix fois de suite. On tombe 8 fois sur Face.
Quelle est la probabilité qu'on ait choisi la pièce truquée ?

Donc j'ai commencé à traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre.
Ensuite j'ai nommé l'événement T : "La pièce est truquée" donc Tbar l'événement contraire.
Pour la situation T, la probabilité d'avoir Face est de 0,75 (comme on a trois fois plus de chance de l'avoir) et celle de Pile est 0,25.

C'est ensuite que je bloque. J'ai voulu utiliser la loi binomiale dans les deux situations mais ça ne donne rien de satisfaisant a priori :
Situation T : P("Avoir 8 fois Face") = 45 * 0,758 * 0,252 = 0,28156753...
Situation Tbat : P("Avoir 8 fois Face") = 45 * 0,510 = 0,043945312...

Est-ce que ça peut m'apporter quelque chose ?

Merci d'avance !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sarah,

Ici pour avoir une idée il faut utiliser l'espérance mathématiques ...

SoSMath.

[Sarah]

Je ne comprends pas bien comment modéliser la situation. Avec quoi dois-je utiliser l'espérance ?

[SoS-Math(9)]

Sarah,

Si X est ta variable aléatoire qui compte le nombre de Face, alors l'espérance de X te donnera la valeur moyenne du nombre de Face si tu répète un grand nombre de fois ton expérience.
Dans les deux cas (pièce truquée ou non) calcule l'espérance sachant que X suit une loi binomiale.

SoSMath.

[Sarah]

Je ne sais pas comment faire. X prend les valeurs de 1 à 8 mais quelle est leur probabilité ?

[SoS-Math(9)]

Sarah,

regarde ton cours sur la loi binomiale, il doit y avoir le calcul de l'espérance ....

SoSMath.

[Sarah]

Bien-sûr j'ai E(X) = x1*P(X=x1) + x2*P(X=x2) + ... + xn*P(X=xn) mais je ne suis pas plus avancée...

[SoS-Math(9)]

Sarah,

Tu me donnes la formule pour toutes les variables aléatoires ...
Tu as 11 valeurs possibles pour X : X=0, X=1, ...X=10. Sachant que X suit une loi binomiale, tu peux alors calculer P(X=0), ... , P(X=10), puis calculer E(X).
Cependant dans ton cours il y a une formule plus simple dans le cas où X suit une loi binomiale ...

SoSMath.

[Sarah]

Oui, j'avais oublié cette formule. Donc on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n=11 et p=0,75 donc E(X)=n*p=8,25

[SoS-Math(9)]

Sarah,

attention, n correspond au nombre de répétition ... donc n=10 !

SoSMath.

[Sarah]

Oui. Exact.
Donc j'ai, si la pièce est truquée : E(X)=7,5
Sinon : E(X)=5
Donc je vois qu'on a plus de chance de tomber sur Face avec la pièce truquée mais comment déterminer ensuite la probabilité d'avoir choisi la pièce truquée ?

[SoS-Math(9)]

Sarah,

Ici, tu as deux événements :
T : "la pièce est truquée" et 8F : "on a obtenu 8 fois Face".

Tu recherche la probabilité conditionnelle \(P_{8F}(T)\), donc il faut calculer \(P(8F \cap T)\) et \(P(8F)\) ...
Utilise un arbre de probabilité pour t'aider.

SoSMath.

[Sarah]

Donc pour P(8F) j'ai forcément 0,8.
Mais je ne sais pas pour P(8F inter T) car dans mon arbre, cette probabilité est égal à 0,75*quelque chose qui est P(T) mais je ne le connais pas.

[Sarah]

J'ai essayé ça :
P8F(T) = (P(T)*PT(8F))/P(F) = (0,5*(7,5/8))/0,8 = 0,5859375

[SoS-Math(9)]

Non Sarah !

tu as calculé \(P_T(8F) \approx 0,28\) et \(P_{\bar{T}}(8F) \approx 0,04\).
Sachant que tu as une chance sur deux de choisir la pièce truquée, tu as donc \(P(T)=0,5\) et \(P(\bar{T})=0,5\).
Avec cela tu vas pouvoir calculer P(8F∩T) et P(8F).

SoSMath.