DM

[Améline]

a1 =a0−0.1∗a 0 = 0.9∗a0 et a2 =a1 −0.1∗a 1 = 0.80∗a1 .

an: -0.1
Je n'ai pas trop d'idée...

[sos-math(20)]

Ok pour \(a_1=0,9a_0\) mais pas pour \(a_2=0,8a_1\). Reprends ce dernier calcul et essaie ensuite de généraliser à \(a_{n+1}\) et \(a_n\).

A bientôt sur SOSmath

[Améline]

a2 =a1 −0.1∗a 1 = 0.80∗a1 .

j'ai fait comme a1 je ne vois pas mon erreur

[sos-math(20)]

a1-0,1a1 n'est pas égal à 0,8 a1. Tu fais une erreur de calcul : utilise l'autre calcul que tu as fait pour corriger ton erreur.

Bon courage

SOSmath

[Améline]

: a1-0,1a1
: 0.9-0.1*0.9: 0.81

[sos-math(27)]

Bonjour Ameline :
Pour reprendre ton calcul :

a2 =a1 −0.1∗a 1 = 0.80∗a1 .

La bonne réponse est : \(a_2 =a_1 −0.1∗a_1 =1 \times a_1 - 0.1 \times a_1=(1-0.1) \times a_1=0.9 \times a_1\)

On passe d'un terme à l'autre de la suite a_n en multipliant par 0.9, donc on peut connaître la nature de cette suite.
On pourra facilement calculer plusieurs termes et répondre aux questions.

à bientôt

[Améline]

Bonjour, donc 0.9×a1 c'est an+1

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu devrais obtenir \(a_2=0,9a_1\) et sûrement \(a_{n+1}=0,9a_n\).
Bon courage

[Améline]

Oui, mais je n'arrive pas à faire un lien avec a1 et e1 pour trouver une équation

[sos-math(27)]

En fait,
\(a_n\)représente la quantité l'alcool dans la bouteille après n opérations de dilutions, et \(e_n\) la quantité d'eau dans la bouteille.
Donc \(a_n+e_n = 1\) , c'est bien l'équation que tu cherches ?

En fait dès que \(a_n\) sera inférieure à 0,5, il y aura plus d'eau que d’alcool dans la bouteille, non ?
Il faut maintenant calculer les termes de la suite \(a_n\) et tâcher de trouver la réponse... à bientôt

[Améline]

Bonjour, oui alors an+1 =0,9an pour a1 =0.9a0 il faut que je me serve de ses deux formules?

[SoS-Math(7)]

Bonjour Amélie,

Il faut que tu prennes le temps de bien lire les réponses.
Pour \(a_n\), tu as bien \(a_{n+1}=0,9a_n\).
\(a_1=0,9a_0\) n'est qu'un cas particulier de cette relation, ce n'est pas "une nouvelle formule".

Si on fait un point, ici tu as déterminé la relation pour la quantité d'alcool dans ta préparation.

Il te reste à trouver une relation pour la quantité d'eau. Tu sais que dans cette préparation, il y a toujours 1L. Donc à chaque étape, la quantité d'alcool plus la quantité d'eau donne 1.
C'est cette remarque que mon collègue a traduit en notations mathématiques par \(a_n+e_n=1\) (à l'étape n)
Tu peux également l'écrire à l'étape (n+1) ce qui donne \(a_{n+1}+e_{n+1}=1\).
En travaillant ces deux relations, tu devrais trouver une expression de \(e_{n+1}\) en fonction de \(e_n\)

A bientôt

[SoS-Math(7)]

Re bonjour,

De plus ici, pour répondre à la queston, as-tu besoin d'exprimer la quantité d'eau ?
Tu as une expression qui te donne,à chaque étape, la quantité d’alcool dans la préparation. Cela devrait suffire pour trouver à quelle étape il y aura plus d'eau que d’alcool.

Bonne continuation.

[Améline]

Bonjour donc je fais : e3: e2(-1/10*e2)+0.1
e3: 0.19-0.019+0.1
e3: 0.271

Je fais ça jusqu'à que je trouve plus d'eau que d'alcool?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Ameline,
Non cela ne sert à rien de faire une cinquante d'exemples pour généraliser . Il faut écrire les expressions en fonction de n
Comme mon collègue te l'a déjà dit \(a_{n} + e_{n} = 1\) s'écrit au rang suivant \(a_{n+1} + e_{n+1} = 1\). D'après cette dernière égalité e\(_{n+1}\) = 1 -a\(_{n+1}\).
Remplace ensuite a\(_{n+1}\) par 0,9 a\(_{n}\).