DM

[Améline]

Bonjour, j'ai un devoir qui concerne les suites et j'ai quelques difficultés alors mon sujet étant:

Un flacon contient un litre d'alcool pur. On décide de le diluer en procédant de la façon suivante:
étape 1 : on retire un décilitre d'alcool du flacon qu'on remplace par un décilitre d'eau et on mélange le tout.
étape 2 : on recommence en retirant un dL du mélange qu'on remplace par un dL d'eau et on mélange.
Et ainsi de suite.

Au bout de combien d'étapes y aura-t-il plus d'eau que d'alcool dans le mélange? Je suis un peu perdu car je n'ai qu'un chiffre qui est 1L, pourriez-vous m'expliquer merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Améline,

Voici un début pour t'aider :
Soit $a_n$ le volume d'alcool à l'étape n et $e_n$ le volume d'eau à l'étape n.
Au départ, $a_0=1$ et $e_0=0$.
Calcule alors, $a_1$ et $e_1$ puis $a_2$ et $e_2$.
Détermine alors une formule de récurrence entre $a_n$ et $a_{n+1}$ et entre $e_n$ et $e_{n+1}$.

SoSMath.

[Améline]

Je pourrais faire:

a0 =1 et e0 =0 .
a0= an+1 e0: en+1
a0: 1+1 e0: 0+1
a0:2 e0: 1

Non?

[SoS-Math(30)]

Bonjour Améline,

Tout d'abord, pour que l'on puisse se comprendre avec les notations, comme tu n'as peut-être pas d'éditeur d'équation, tu pourras écrire a(n) pour $a_{n}$ ce qui permettra de distinguer a(n+1) de a(n)+1 (ce qui donne $a_{n+1}$ distinct de $a_{n}+1$ avec un éditeur d'équation).
Quand tu écris a0 = an+1, tu veux dire $a_{0}=a_{n}+1$ ?
Si tel est le cas, ce n'est pas correct. Ca ne le serait pas non plus si c'était $a_{0}=a_{n+1}$
De plus, à la fin de ton message tu écris $a_{0}=2$... Est-il possible qu'au départ $a_{0}=1$ et à la fin $a_{0}=2$ ? As-tu bien compris ce que représente la notation $a_{0}$ ?

Commence simplement d'abord, comme mon collègue te l'a indiqué.
Avant de chercher une relation entre $a_{n+1}$ et $a_{n}$, calcule d'abord $a_{1}$ et $a_{2}$ pour comprendre le "mécanisme" de construction de la suite.
Autre question pour t'aider : est-ce que le volume d'alcool diminue ou augmente au fil des étapes ?

Bon courage

[Améline]

Bonjour, Si a0: 1 alors,
an: an+1
a1: 1+1
a1 : 2

[SoS-Math(9)]

Améline,

je ne comprends pas ce que tu fais !

étape 1 : on retire un décilitre d'alcool du flacon qu'on remplace par un décilitre d'eau et on mélange le tout.
Donc $a_1=a_0-0,1=0,9$ et $e_1=e_0+0,1=0,1$.

étape 2 : on recommence en retirant un dL du mélange qu'on remplace par un dL d'eau et on mélange.
Comme 1dL = 1/10 L, alors retirer 1 dL revient à enlever 1/10 du volume de mélange ...
Donc $a_2=a_1-\frac{1}{10}\times a_1=...$ et $e_2=...$. Je te laisse compléter.

SoSMath.

[Améline]

Donc a1: a0-0.1: 0.9 e1 : e0+0.1: 0.1
a2 : a1-1/10*a1 e2 : e1+0.1 : 0.2
a2 : 0.9-1/10*0.9
a2 : 0.9-0.09
a2 : 0.81

[SoS-Math(9)]

Améline,

d'accord pour $a_2$, par contre pour $e_2$ c'est faux .... tu a oublié d'enlever les 1/10 de $e_1$.

SoSMath.

[Améline]

e1 : e0+0.1: 0.1
e2 : e1(1/10*e1)
e2 : 0.1+0.01
e2: 0.11

[SoS-Math(9)]

Ameline

J'ai écrit "enlever" ...

SoSMath

[Améline]

e1 : e0+0.1: 0.1
e2 : e1(-1/10*e1)
e2 : 0.1-0.01
e2: 0.09

mais ce chiffre est plus petit que pour e1 c'est pas possible

[SoS-Math(9)]

Améline

Tu as oublié que l'on rajoute 0,1L d'eau

SoSMath .

[Améline]

e1 : e0+0.1: 0.1
e2 : e1(-1/10*e1)+0.1
e2 : 0.1-0.01+0.1
e2: 0.19
Oui, je vois pas comment je peux trouver une formule de récurrence

[SoS-Math(30)]

Bonsoir,

Focalisons-nous sur la suite $(a_{n})$.
Je reprends ce que tu as trouvé pour $a_{1}$ et $a_{2}$ :

Donc a1: a0-0.1: 0.9
a2 : a1-1/10*a1
a2 : 0.9-1/10*0.9
a2 : 0.9-0.09
a2 : 0.81

Tu as trouvé que $a_{1}=a_{0}-0.1*a_{0}=...*a_{0}$ et $a_{2}=a_{1}-0.1*a_{1}=...*a_{1}$ .
Je te laisse compléter les trous et en faisant cela, tu auras peut-être l'idée d'une égalité reliant $a_{n+1}$ à $a_{n}$

Bon courage

[Améline]

a1 =a0−0.1∗a 0 = 0.9∗a0 et a2 =a1 −0.1∗a 1 = 0.80∗a1 .

an: -0.1
Je n'ai pas trop d'idée...