spé maths

[Pauline]

Bonjour,

j'ai un exercice sur lequel je bloque complètement, voici l'intitulé :
Comment choisir n ∈ Z pour que (5n+3) :(2n+7) soit entier

méthode 1 :
2n +7 | 5n+3
2n+7 | u(2n+7) + v(5n+3)
choisir astucieusement u et v

méthode 2
Effectuer la division de deux polynômes du 1er degré 5n+3 et 2n+7


Je trouve en tâtonnant par hasard les résultats 11 et -4, mais n'arrive pas à résoudre mathématiquement le problème.
Pourriez-vous s'il vous plaît me donner une piste ?
A l'avance, merci beaucoup.

Pauline

[sos-math(20)]

Bonsoir Pauline,

Je reprends la méthode 1 : (2n+7) / u(2n+7)+v(5n+3) quels que soient les entiers u et v.
L'idée est d'éliminer les n dans l'expression u(2n+7)+v(5n+3) : pour cette raison je choisis u=5 et v=-2.
Ainsi 2n+7 divise 5(2n+7)-2(5n+3) = 10n +35 -10n-6 = 29.
Donc 2n+7 est un diviseur de 29. Mais 29 est un nombre premier, donc ses seuls diviseurs sont 1, -1, 29 et -29.
J'en déduis que 2n+7=1 ou 2n+7=-1 ou 2n+7=29 ou 2n+7=-29.
La résolution de ces quatre petites équations te donnera les 4 valeurs de n possibles.

Bonne soirée

SOSmath

Remarque : maintenant que tu as les 4 solutions, je te laisse réfléchir seule à la méthode 2

[Pauline]

Bonsoir Madame,

merci infiniment de votre aide précieuse. Grâce à vous, j'ai tout compris et vais essayer de résoudre avec la méthode 2 l'exercice.
Encore merci et bonne soirée à vous.


Pauline

[sos-math(20)]

A bientôt sur SOSmath, Pauline.