Dérivée

[Mel]

Bonjour
Je dois dériver ça :
f(x)=1/4*racine(x^2+1)-1/5*(x-6)

J'ai mis : on reconnaît f(x)=a(x)+b(x)*c(x)
Je sais que la dérivée de a(x), soit la dérivée de 1/4*racine(x^2+1) est 1/4*[2x/2*racine(x^2+1)].

Je sais que la dérivée de -1/5, donc celle de b(x), est 0 et que celle de c(x), soit celle de (x-6), est 1.
Donc la dérivée de b(x)*c(x) est -1/5.

Le problème c'est que du coup je ne sais pas si f'(x)=1/4*[2x/(2*racine de x^2+1)]+1/5 ou si c'est f'(x)=1/4*[2x/(2*racine de x^2+1)]-1/5

Pouvez-vous m'aider ?

[sos-math(20)]

Bonjour Mel,

Tu dois respecter les opérations entre les différentes dérivées : ici tu as a(x) - b(x)c(x), c'est une soustraction; c'est donc ta deuxième proposition qui est la bonne.(Pour moi b(x)=1/5)

A bientôt sur SOSmath

[Mel]

Merci pour la réponse, c'est bien ce que je pensais.
Après, le but est d'établir le sens de variation de f.
J'imagine que je ne peux pas directement faire le tableau de variation à partir de f'(x)=1/4*[2x/(2*racine de x^2+1)]-1/5, qu'il faut que je change la forme ?
Du coup j'ai réduit l'équation mais je ne suis pas trop sûre de ma réponse, parce que j'obtient un truc un peu bizarre avec lequel je ne vois pas trop comment faire un tableau de variation :
f'(x)=1/4*2x/[2√(x^2+1)]-1/5
f'(x)=1/4*[x/√(x^2+1)]-1/5
f'(x)=x/[4√(x^2+1)]-1/5
f'(x)=5x/[5*4√(x^2+1)]-[4√(x^2+1)]/[5*4√(x^2+1)]
f'(x)=[5x-4√(x^2+1)]/[20√(x^2+1)]
f'(x)=[x-4√(x^2+1)]/[4√(x^2+1)]

Du coup pour les racines j'ai fait x-4=0 donc x=4
√(x^2+1)=0 -> x^2+1=0 -> x^2=-1 -> x=-1
20√(x^2+1)=0 -> x^2+1=0 -> x^2=-1 -> x=-1
Mais bon, c'est bizarre... Pouvez-vous me dire ou est le problème ?

[sos-math(20)]

Tu as eu la bonne idée, il faut bien réduire au même dénominateur pour étudier le signe de f '(x).
Tu as cependant fait une erreur en simplifiant par 5 à la dernière ligne car 5 n'est pas en facteur au numérateur.

L'expression de f '(x) est donc \(\frac{5x-4 \sqrt{x^2+1}}{20 \sqrt{x^2+1}}\).

Il faut maintenant en étudier le signe : seul le signe du numérateur compte car le dénominateur est strictement positif sur IR.

1) Quel est le signe du numérateur quand x est négatif ?
2) En supposant que x est strictement positif, résous l'inéquation \(5x-4\sqrt{x^2+1} \geq 0\). cela tedonnera le signe de f '(x) pour les valeurs de x positives.
3) Un bilan des points 1) et 2) te donnera finalement le signe de f '(x) sur tout IR .

Bon courage

SOSmath

[Mel]

1) on sait grâce à la première question de l'exercice que x appartient à l'intervalle [0;6] donc x> ou = 0.
Du coup je fais :

5x-4√(x^2+1) > ou = 0
5x > ou = 4√(x^2+1)
5x/4 > ou = √(x^2+1)
5/4*x > ou = √(x^2+1)
5/4 > ou = √(x^2+1)/x

Mais bon ça paraît bizarre.
Je crois que normalement on doit résoudre 5x > ou = 0 et 4√(x^2+1) supérieur ou égal à 0 mais comme là c'est une soustraction et non un produit je ne sais pas trop quoi faire...

[SoS-Math(25)]

Bonjour Mel,

Il faut faire attention aux division par "x"....

Tu en es là :

x appartient à l'intervalle [0;6] donc x> ou = 0 :

\(~\frac{5}{4}x \geq \sqrt{x^2 + 1}\)

Comme les deux membres sont positifs et que la fonction carrée est croissante sur 0;6 (et plus encore) alors tu peux passer au carré de chaque côté, cela va te permettre d'enlever la racine.

Bon courage !

[Mel]

Merci pour votre réponse.
Entre-temps, j'ai refait une nouvelle fois l'inéquation et j'ai trouvé ça :
5x-4√(x^2+1) > ou = 0
(5x²) > ou = 4²*(x²+1)
25x² > ou = 16(x²+1)
25x² > ou = 16x²+16
25x²-16x² > ou = 16
9x² > ou = 16
x² > ou = 16/9
x > ou = √16/9

C'est juste ?

[SoS-Math(25)]

Si x est positif oui, c'est bien.

Attention aux parenthèses parfois mal placées..

A bientôt !

[Mel]

Merci pour votre aide

[Mel]

Encore une petite question par rapport à la question suivante.

Pour cela, je remet l'énoncé de l'exercice :
"On cherche le point H tel que le trajet A-H-B soit le plus rapide possible. Le trajet AH en mer est parcouru en canot à une vitesse de 4km.h et le trajet HB sur la terre, est parcouru à une vitesse de 5 km.h. "

Dans la première question j'ai dû trouver la fonction f déterminant la durée du parcours de A à B en heures.
Dans la deuxième, j'ai dû trouver f'(x) et établir le sens de variation de f.
La question 3 est "à quel endroit de la côte le canot doit-il accoster ?"

Pour répondre, j'ai pris x pour lequel le temps était minimal d'après mon tableau de variation de la question 2 (soit x=√(16/9)), et j'ai dit que le canot accostait à cette distance x du point O. C'est bien ça ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(31)]

Oui, c'est bon. Tu peux préciser la valeur arrondie de la distance en km. Penses lors de la rédaction aux unités de temps heures/minutes/secondes et la distance en km.
A bientôt sur SOS- Math.

[Mel]

Merci beaucoup.

[SoS-Math(31)]

De rien. A bientôt sur le forum.