Fonctions

[Emma]

Bonjour,

Enoncé : f est la fonction définie sur I = [-1;3] par f(x) = -2x² +4x +1

1. A l'aide de votre calculatrice conjecturer le sens de variation de f sur I
2. a. Montrer que, pour tout réel x de I : f(x) = -2 (x-1)² + 3
b. En déduire un enchaînement représentant la fonction f
3. Démontrer votre conjecture, puis dresser le tableau de variation de f
4. Déterminer les coordonnées exactes des points d'intersections de la courbe Cf représentant f avec les axes de coordonnées
5. Soit f définie sur R par f(x) = a (x-α)² + β où a, α et β sont des réels avec a≠0. Déterminer le sens de variation de f sur R.

1. Ci-joint la représentation de f.

2. a. -2 (x-1)² + 3
= -2 (x² -2x +1) +3
= -2x² +4x -2 +3
= -2x² +4x +1
= f(x)

b. x ➔ x-1 ➔ (x - 1)² ➔ -2 (x - 1)² ➔ -2 (x - 1)² + 3

3. f(x) est la somme du produit de -2 par (x - 1)² et de la constante +3 (qui à ce titre n'intervient pas dans le sens de variation de f).
On sait que la fonction de référence x ➔ x² est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Donc x ➔ (x - 1)² est décroissante quand (x -1) est négatif et croissante quand (x - 1) est positif.
Le facteur -2, qui est inférieur à 0, change le sens de variation. Ainsi, x ➔ -2(x - 1)² est croissante quand (x -1) est négatif et décroissante quand (x - 1) est positif.
Finalement, f est croissante sur ]-∞ ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[.

Pour le tableau de variation ci-joint, je ne sais pas si cette seule étape suffit ou s'il faut détailler d'avantage.

4. Soit A le point d'intersection de f avec l'axe des ordonnées. A a pour coordonnées (0 ; f(0)).
f(0) = -2 (0-1)² +3 = -2 +3 = 1
Ainsi, A (0;1)

Soit B le point d'intersection de f avec l'axe des abscisses. B a pour abscisse la ou les solution(s) de l'équation f(x) = 0 et pour ordonnées 0.
f(x) = 0
-2 (x-1)² + 3 = 0
-2 (x-1)² = -3
Je reste bloquée à cette étape.

5. Pouvez-vous m'aider à aborder cette question ?

Le reste de l'exercice est-il juste ? Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Emma,

Ton travail est bon.
Cependant à la question 1, il faut donner le tableau de variations conjecturé à partir de la courbe !

Question 4 :
f(x) = 0
-2 (x-1)² + 3 = 0
-2 (x-1)² = -3
(x-1)² = (-3)/(-2) = 1,5

Rappel : x² = a avec a > 0 <=> x=\(\sqrt{a}\) ou x=\(-\sqrt{a}\) (Attention à ne pas oublier la 2ème solution !)

Question 5 :
Ici on te demande de généraliser ce que tu as fait pour f(x) ...
Donc reprend ce que tu as fait à la question 3 avec les lettres a, \(\alpha\) et \(\beta\) à la place des -2, 1 et 3 ...

SoSMath.

[Emma]

Merci beaucoup pour votre attention.

Pour la question 4 :
f(x) = 0
-2 (x-1)² + 3 = 0
-2 (x-1)² = -3
(x-1)² = (-3)/(-2) = 1,5
(x-1) = √(3/2) ou (x-1) = -√(3/2)
x = √(3/2)+1 ou (x-1) = -√(3/2)-1

Est-ce juste ?

[SoS-Math(9)]

Emma,

c'est bien mais il y a une petite erreur :
(x-1) = -√(3/2) donne x = -√(3/2) + 1 et non -√(3/2)-1


SoSMath.

[Emma]

D'accord merci, et pour la question 5 donc, c'est le même raisonnement que pour la question 3, sauf que le sens de variation dépend du signe de a ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Emma,

C'est exactement cela,

A bientôt !