Bonsoir Camille,
Question 5 : tu as l'encadrement pour tout n >0 : \({-1} \leq cos(n\pi) \leq 1\).
Question 6 : il faut utiliser le fait que \(1 \leq k \leq n\), donc \(1+n^2 \leq k +n^2 \leq n +n^2\), je te laisse terminer.
SoSMath.
Suites
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SoS-Math(9)
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Camille
Re: Suites
Bonjour ! Pour la question 5: 1/1+n²<=1/k+n²<=1/n+n² ?? Mais je ne vois pas comment trouver la limite ...
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sos-math(21)
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Re: Suites
Bonjour,
attention, quand tu passes à l'inverse, cela change l'ordre dans tes inégalités :
si tu as \(1+n^2 \leqslant k +n^2 \leqslant n +n^2\), alors \(\frac{1}{1+n^2}\geqslant\frac{1}{k +n^2}\geqslant \frac{1}{n+n^2}\).
Je te laisse terminer
attention, quand tu passes à l'inverse, cela change l'ordre dans tes inégalités :
si tu as \(1+n^2 \leqslant k +n^2 \leqslant n +n^2\), alors \(\frac{1}{1+n^2}\geqslant\frac{1}{k +n^2}\geqslant \frac{1}{n+n^2}\).
Je te laisse terminer
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Camille
Re: Suites
On ne doit pas faire n/1+n²<=Un<=n/n+n² ??
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sos-math(21)
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Re: Suites
Il te reste à tout multiplier par n dans l'inégalité que je t'ai proposée.
Tu auras bien un encadrement, mais avec un ordre inverse de ce que tu proposes.
Bonne continuation.
Tu auras bien un encadrement, mais avec un ordre inverse de ce que tu proposes.
Bonne continuation.
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Camille
Re: Suites
Ah d'accord mais pour quelles raisons on multiplie par n ? je n'ai pas compris ça
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Camille
Re: Suites
Et pour la question 4, j'ai limite de 1/n=0, et du coup pour le cosinus : -1<=cos nPie/17<=1 et je pense utiliser le théorème des gendarmes mais je ne vois pas comment avancer après l'encadrement
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sos-math(21)
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Re: Suites
Quel est le terme général de ta suite dans la question 5 ? On fait la somme de termes donc on cherche "contrôler" cette somme.
Pour la 4, c'est à peu près cela, le cosinus étant borné sur \(\mathbb{R}\), \(-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1\) en multipliant par \(\frac{1}{n}\) cet encadrement, on a ....
Pour la 4, c'est à peu près cela, le cosinus étant borné sur \(\mathbb{R}\), \(-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1\) en multipliant par \(\frac{1}{n}\) cet encadrement, on a ....
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Camille
Re: Suites
Pour la question 5, j'ai n/1+n²>= Un>=n/n+n² et d'après ça je dois utiliser le théorème des gendarmes ?
Pour la question 4 j'ai trouvé que la limite de Un est 0 car -1/n<=Un<=1/n et avec le théorème des gendarmes limite de Un=0
Pour la question 4 j'ai trouvé que la limite de Un est 0 car -1/n<=Un<=1/n et avec le théorème des gendarmes limite de Un=0
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sos-math(21)
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Re: Suites
C'est bon pour la question 4.
Pour la 5, il faut partir du fait que pour tout entier k compris entre 1 et \(n\), tu as \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{k+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\).
Quand tu fais la somme de ces \(n\) encadrements que se passe-t-il ?
au rang \(k=1\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
au rang \(k=2\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{2+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
au rang \(k=3\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{3+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
....
au rang \(k=n\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
Fais la somme de ses encadrements et tu auras un encadrement de ta somme.
Pour la 5, il faut partir du fait que pour tout entier k compris entre 1 et \(n\), tu as \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{k+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\).
Quand tu fais la somme de ces \(n\) encadrements que se passe-t-il ?
au rang \(k=1\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
au rang \(k=2\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{2+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
au rang \(k=3\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{3+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
....
au rang \(k=n\) : \(\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}\)
Fais la somme de ses encadrements et tu auras un encadrement de ta somme.
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Camille
Re: Suites
Je dois faire la somme de toutes ces inégalités ? (K=1,k=2,k=3,k=n)? Pourquoi s'arrêter à 3?
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sos-math(21)
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Re: Suites
J'ai mis des pointillés ! Cela signifie qu'il faut faire la somme de TOUTES ces inégalités (il y en a \(n\)).
Je ne suis pas sûr que tu comprennes ce que je te présente ....
Je ne suis pas sûr que tu comprennes ce que je te présente ....
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Camille
Re: Suites
Non effectivement je ne pense pas comprendre ce qu'il faut que je fasse, enfait je n'ai pas compris qu'est ce qu'il faut additionné
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sos-math(21)
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Re: Suites
Bonjour,
additionne les encadrements pour former un seul encadrement :
\(\frac{n}{n+n^2}+\frac{n}{n+n^2}+...+\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}+\frac{n}{2+n^2}+...+\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}+\frac{n}{1+n^2}+...+\frac{n}{n+n^2}\)
Bon courage
additionne les encadrements pour former un seul encadrement :
\(\frac{n}{n+n^2}+\frac{n}{n+n^2}+...+\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}+\frac{n}{2+n^2}+...+\frac{n}{n+n^2}\leqslant \frac{n}{1+n^2}+\frac{n}{1+n^2}+...+\frac{n}{n+n^2}\)
Bon courage
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Camille
Re: Suites
Bonjour ! Je ne comprends pas pourquoi le dernier des termes de votre inégalité c'est n/n+n² et pas n/1+n² ?