Dérivation et composée

[Maëlis]

Bonjour,
Alors voilà je bloque sur les 3 dernières questions de mon DM: on me demande de déduire mais je ne vois pas le rapport avec les questions précédentes.
En quoi l'étude de la fonction g me renseigne-t-elle sur u ?
Merci d'avance pour vos réponses :)

[sos-math(27)]

Bonjour Maëlis,
En fait, après avoir cherché un peu avec le logiciel Geogebra pour m'aider à faire les calculs.
La fonction g est là uniquement pour faire l'étude de la fonction u

en démontrant que g est négative, on arrive à montre que ln(1+t)<t, ce qui peut permettre de majorer u'(x)
Il faudra encore travailler, la question est délicate...

Bon courage, pour vérifier tes calculs, n'hésite pas à utiliser un logiciel de calcul formel comme Geogebra par exemple.



à bientôt

[Maëlis]

Je ne vois pas comment le signe de g influe sur celui de u ? Quel est le lien entre les 2 fonctions ?

[Maëlis]

Je viens de trouver que:

Si u(x) <=1 alors ln (1+1/x)<= 1/x
On retrouve alors g(t) avec t=1/x

Mais comment fait-on à partir de là ?
Et est-ce que je peux partir du principe que l'affirmation (u(x)<1) est vraie pour la démontrer ?

Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maëlis,

Attention tu ne peux pas utiliser la conclusion (u<1) pour la démontrer !

Tu as montrer que pour t>0, g(t) < 0.
Alors pour x > 0, on pose t = 1/x et on obtient g(1/x) < 0 soit ln(1+1/x) - 1/x < 0 soit ln(1+1/x) < ... je te laisse terminer.

SoSMath.

[Maëlis]

Est ce que le fait que g soit définie sur ]-1;+\(\infty\) [ au lieu de 0 change quelque chose ?

[Maëlis]

Mais à la fin je trouve bien u(x)<1 et pas inférieur ou égal à 1 ce qui ne correspond pas à l'énoncé non ?

[Maëlis]

Ah oui oui c'est bon j'ai compris j'ai réussi la question b
Merci beaucoup pour vos réponses :)

[Maëlis]

Est ce que je peux répondre de cette manière à la question c :

u est le produit de x->x et de x->ln(1+1/x)
Or sur R+* , x->x et x->ln(1+1/x) sont strictement positives.
Donc u est à valeurs positives sur R+*

Par contre je ne vois pas du tout pour la question d

[sos-math(21)]

Bonjour, en résumé, tu as montré que ta fonction g était strictement décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Donc si \(t>0\), alors \(g(t)<g(0)\) (traduction du sens de variation sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) : une fonction décroissante renverse l'ordre ) et comme g(0)=0.
On a bien \(g(t)<0\), ce qui signifie que pour tout \(t>0\), \(\ln(1+t)>t\), il reste ensuite à appliquer cela à \(\frac{1}{x}\) si \(x>0\), alors \(\frac{1}{x}>0\), donc on peut appliquer l'inégalité à \(\frac{1}{x}\), ce qui donne .....
Est-ce ainsi que tu l'as rédigé ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la positivité, c'est à peu près cela mais il faut expliquer pourquoi \(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)>0\), en se basant sur la signe de la fonction \(\ln\).
Bonne continuation.

[Maëlis]

Pour la question d est ce que je peux écrire:

On sait que f(x)= exp u(x) et que u(x) est à valeurs positives sur R+*.
On en déduit que f(x)>1 puisque exp(0)=1 et exp(x) est strictement croissante.

Mais je ne vois pas comment justifier que f<e

[sos-math(21)]

Maëlis,
c'est du même ordre : tu as montré que \(u(x)\leqslant 1\) et comme l'exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), en appliquant l'exponentielle à chacun des membres de cette inégalité, on a ...

[Maëlis]

Merci infiniment pour votre aide j'ai tout compris !

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation et à bientôt sur SoS Math