Limites et cmparaison de fonctions

[Maelle]

Bonsoir,
Je viens vers vous car je suis en terminale S et après de nombreuses recherches sur ce forum je n'ai toujours pas solutionné mon problème.
Je bute sur un exercice que je dois rendre. Voici donc l'énoncé:

f et g snt les fonctions définies sur [0;+[ par:
f(x)=x2+1 (le +1 est bien sous la racine) et g(x)=x
Dans un repère orthonormé, voici les courbes représentatives des fonctions f et g.
M et N sont les points d'abscisse x, x0 situés respectivement sur les courbes Cf et Cg.
On note h(x) la distance MN.

1) Conjecturer la limite de h en +
2) Démontrer que pour tout nombre réel x0, h(x)=1/(x2+1 +x) (ici seul le x2+1 est sous la racine)
3) Démontrer que pour tout nombre réel x strictement supérieur à 0, 0 strictement inférieur à h(x)1/2x
4) En déduire la limite de h en +


Pour la première question je n'arrive j'ai exprimer h(x) grâce à la formule MN=racine carré(xN-xM)au carré + (yN-yM)au carré. Je trouve h(x)=x-racine x au carré+1
Pour conjecturer il s'agit bien de le faire avec ma calculatrice? Ainsi je trouve que sa limite est 0.
La deuxième question me pose problème je ne vois pas comment transposer ou composer pour obtenir ce résultat...

Désolée je sais qu'il manque la représentations des courbes mais je ne sais pas comment la donner. Je peux vous dire que les deux courbes sont croissante, que Cg passe par l'origine et a un point de coordonnées [1;1]. Cf quant à elle commence au point [0;1].

Merci d'avance à la (aux) personne(s) qui prendra(ont) le temps de m'aider.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maelle,

Il manque des "choses" dans ton texte ... mais je crois avoir compris.
On trouve : \(h(x)=\sqrt{(x-\sqrt{x^2+1})^2}=\sqrt{x^2+1}-x\) (et non \(x-\sqrt{x^2+1}\) ... car \(\sqrt{u^2}=|u|\)= u si u > 0 ou - u si u < 0).

Ta conjecture (que tu peux faire avec ta calculatrice !) est bonne.

Pour la question 2, il faut utiliser l'expression conjuguée de \(\sqrt{x^2+1}-x\) qui est \(\sqrt{x^2+1}+x\) ....

Question 3 : Peux-tu réécrire la question, je ne la comprends pas !

SoSMath.

[Maelle]

Merci beaucoup pour les premières question. Je pense que c'est a cause de ma forme conjuguée fausse que je bloquais à la deuxième question.

La 3) est une inégalité.
on a :
démontrer que pour tout réel x supérieur ou égale à 0: 0 infèrieur à h(x) \(\leq\)\(\frac{1}{2x}\)

[SoS-Math(25)]

Bonjour Maelle,

Que h(x) soit supérieur à 0 je te laisse faire.

Pour \(~ h(x) \leq \frac{1}{2x}\) tu peux essayer de regarder la fonction :

\(~ h(x) - \frac{1}{2x}\) et essayer de démontrer qu'elle reste négative pour tous les x positifs,

A bientôt !

[Maelle]

Merci c'est très gentil, puis je vous demander de me réexpliquer la forme conjuguée ? je n'ai pas bien compris comment l'obtenir et je ne vois absolument pas comment on peut composer par l'inverse...

[SoS-Math(25)]

Un exemple :

On veut transformer l'expression : \(~\sqrt{x+2}-1\) (ici on ne sait pas pourquoi...) et x est positif :

La forme conjuguée est : \(~\sqrt{x+2} + 1\) et on va multiplier notre expression de départ (en haut en bas) par cette forme conjuguée. (Ainsi, on garde l'égalité et on transforme l'expression...)

\(~\sqrt{x+2}-1= \dfrac{\sqrt{x+2}-1}{1} = \dfrac{(\sqrt{x+2}-1)\times (\sqrt{x+2} + 1)}{\sqrt{x+2} + 1} = \dfrac{x+1}{\sqrt{x+2} + 1}\).

Ce n'était qu'un exemple...

J'espère t'avoir aidé,

A bientôt !

[Maelle]

Oui j'ai compris, merci d'avoir pris le temps de m'aider. Bonne soirée!

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite