Fonction

[Claire]

Bonjour.

Voici l'énoncé de mon exercice et la proposition de réponse que je fournis.

Soit u la fonction définie sur R par :
u(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1 ; + l'infini[ par :
f(x) = (1-x)/(1+x^3)
On a démontré précédemment que :
f'(x) = u(x)/((1+x^3)^2)

En sachant que u(a) = 0 montrer que :
f(a) = (2(1-a))/(3(a^2+1))

En fait, j'ai pensé montrer que :
(2(1-a))/(3(a^2+1)) = (1-a)/(1+a^3) et force est de constater que cela fonctionne puisque je tombe bien sur 0. Néanmoins, je ne sais pas si c'est très rigoureux pour une démonstration.

Est-ce une bonne méthode ou y en a-t-il une autre plus convaincante ?

Merci d'avance !

[sos-math(28)]

Bonsoir Claire
Puisque\(u(a)=0\) tu peux exprimer \(a^3\) en fonction de \(a^2\), il suffit ensuite de remplacer \(a^3\) par son expression en fonction de \(a^2\) dans \(f(a)\) pour trouver le résultat attendu.

[Claire]

Dans quoi doit-on exprimer a^3 en fonction de a^2 ?

[sos-math(28)]

Dans l'égalité u(a)=0.
\(2a^3-3a^2-1=0\) , il suffit d'isoler\(a^3\)

[Claire]

D'accord. Et ensuite ? Où dois-je le mettre ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu sais que \(f(a)=\frac{1-a}{1+\boxed{a^3}}\), c'est ici que tu dois remplacer \(a^3\) par une autre expression obtenue à partir de \(2a^3-3a^2-1=0\).
Bon calcul

[Claire]

Ah oui, super, merci beaucoup !