Exercice

[Laetitia]

Bonjour, je ne sais absolument pas comment on fait pour démontrer cela. Comment faut-il s'y prendre ?

Merci par avance.

[SoS-Math(7)]

Bonjour Laëtitia,

Je te propose de poser \(g(x)=f(x)-x\). Que signifie, pour la fonction \(g\), le fait de chercher un point fixe pour \(f\) ?

A bientôt

[Laetitia]

Bonsoir,

Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
g(0) \(\geq\) 0 et g(1) \(\leq\) 0

[Laetitia]

Bonjour,

Je ne comprends pas avec g(x)=f(x)-x

Peut-on utiliser la méthode de dichotomie ?
Comme g(0)≥0, que g(1)≤0 et que la fonction est continue, il existe forcément un x pour lequel g(x)=0, ce qui revient à dire qu'il existe forcément un x pour lequel f(x)=x.

Cordialement.

[Laetitia]

Bonjour, je me permets de vous renvoyer un message car je ne sais pas si vous avez reçu ce dernier...

Faut-il utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?
Comme g(0)≥0, que g(1)≤0 et que la fonction est continue, il existe forcément un x pour lequel g(x)=0, ce qui revient à dire qu'il existe forcément un x pour lequel f(x)=x.

Cordialement

[SoS-Math(7)]

Bonjour Laëtitia

Tu as tout, le théorème à utiliser est bien celui des valeurs intermédiaires. Ton dernier message constitue quasiment la correction de l'exercice.

Bonne continuation.

[Laetitia]

Mais comment on utilise le théorème des valeurs intermédiaires ici ?

Cordialement

[SoS-Math(7)]

Bonjour Laëtitia,

Comme g(0)≥0, que g(1)≤0 et que la fonction est continue,
D'après le théorème des valeurs intermédiaires
il existe forcément un x pour lequel g(x)=0, ce qui revient à dire qu'il existe forcément un x pour lequel f(x)=x.

Je pense que tu as tout... Tu justifieras que g(0)≥0 et que g(1)≤0

Bonne continuation.

[Laetitia]

Donc,
Comme g(0)≥0, que g(1)≤0 et que la fonction est continue,d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un x pour lequel g(x)=0.
Ce qui revient à dire qu'il existe un x pour lequel f(x)=x, car g(0)≥0 et que g(1)≤0

Est-ce correct ?

Cordialement

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Laëtotia,

Ce que tu propose est correct.

A bientôt

[Laetitia]

Bonjour,

Comme g(0)≥0, que g(1)≤0 et que la fonction est continue,d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un x entre 0 et 1 pour lequel g(x)=0.
Ce qui revient à dire qu'il existe un x pour lequel f(x)=x, car g a été définie sur [0;1] par : g(x) = f(x)-x


J'ai apporté un peu plus de précision, est-ce toujours correct ?

Cordialement

[SoS-Math(7)]

Bonjour Laëtitia,

Ta proposition reste juste. Si tu veux être encore plus précise, justifie que g(0)≥0 et que g(1)≤0.

Bonne continuation.