Les suites

[LARRA]

bonjour

j'ai besoin d'aide pour la deuxieme question de l'exercice suivant
(un) est la suite définie par u1=8
un+1=racine carré 5un-4

1) Démontrer par récurrence que un⩾4 quelque soit n ⩾1
2)Etudier le sens de variation de (un)
j'ai reussi la 1) mais la 2 je bloque en utilisant un+1-un

Merci d'avance pour votre aide

[SoS-Math(11)]

Bonjour Larra,

Tu dois obtenir le signe de \(u_{n+1}-u_n\), tu dois donc chercher le signe de \(\sqrt{5u_n-4}-u_n\) que tu peux aussi écrire :\(\frac{(\sqrt{5u_n-4}-u_n)(\sqrt{5u_n-4}+u_n)}{\sqrt{5u_n-4}+u_n}\).

Au numérateur tu as une identité à développer, le dénominateur est positif puisqu'une racine est positive et que \(u_n\geq4\).
Le signe sera celui du numérateur. Si tu poses \(u_n=X\) au numérateur, tu te retrouves avec un trinôme du second degré dont tu sais étudier le signe.

Bon courage pour tous les calculs

[Larra]

merci beaucoup grâce à votre aide j ai réussi
Merci

[Lola]

Bonjour j'ai le même sujet mais je n'arrive pas à établir le trinôme du second degrés pouvez vous me guider s'il vous plaît ?

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Développe le numérateur en utilisant l'identité remarquable (a+b)(a-b) où \(a=\sqrt{5u_n-4}\) et


Bon courage

SOSmath

[sos-math(20)]

et \(b=u_n\).

[Lola]

Oui c'est ce que j'ai fait mais je trouve -2 racine carrée de 5 X le tout au carré est -il possible de le simplifier en 20 X ?

[sos-math(20)]

Ton développement est faux, Lola.

Prends le temps d'écrire \(a^2-b^2\) en remplaçant a et b pat leurs expressions respectives données dans mes précédents messages.

SOSmath

[Lola]

Cela me donne (Racine carrée de 5 Un - 4)²-(Un)² mais je ne comprends pas ce qu'il faut faire avec cette expression pour obtenir un trinôme du seconde degré

[Lola]

J'ai recommencé et j'ai trouvé -4 racine de 5 X - X² c'est la solution ?

[sos-math(20)]

Tu dois savoir, Lola, que pour tout réel positif x on a \((\sqrt{x})^2=x\). Utilise ce résultat pour simplifier ton expression.

SOSmath

[sos-math(20)]

Utilise mon précédent message pour corriger ton expression actuellement fausse.

SOSmath

[Lola]

A l'aide de votre aide j'ai trouvé -X²+X

[sos-math(21)]

Bonjour,
Cela ne convient toujours pas : \((\sqrt{u_n-4})^2=....\) car \((\sqrt{x})^2=x\) et ensuite tu as \(u_n^2\) qui vient se soustraire.
Reprends cela

[Lola]

Je n'ai toujours pas compris quelle démarche adopter, j'ai juste compris que la racine carrée de X le tout au carré devient X mais il reste racine carrée de 5-4 donc racine carré de 1 ce qui fait X x 1=1