Maths, suite arithmético-géométrique

[Melisse]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exo de math sur les suites arithmético-géométriques.
Je suis dans une impasse concernant ce sujet. Voici l'énoncé de l'exercice :
Soit (Un), suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation Un+1= aUn + b.
On a vn = un - (b/1-a)

Je dois démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison a. Or après avoir testé mille possibilités, je ne trouve toujours pas la réponse...

J'espère que quelqu'un pourra me donner des indications sur la façon de résoudre mon problème, merci.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu trouves une relation entre \(v_{n+1}\) et \(v_n\), de la forme \(v_{n+1}=q\times v_n\).
Il faut donc que tu partes de \(v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{b}{1-a}=au_n+b-\frac{b}{1-a}\) et la je te laisse tout mettre au même dénominateur.
Bon courage

[Melisse]

Merci pour avoir pris le temps de m'aider, sinon lorsque je met au même dénominateur, j'obtient vn+1=(a(un-aun-b))/(1-a).
Est-ce que le développement est juste ?
Et si oui, qu'est-ce que je dois faire après pour trouver la raison de (Vn) ?

[sos-math(21)]

Bonjour
tu dois trouver \(v_{n+1}=\frac{au_n-a^2u_n+\cancel{b}-ab-\cancel{b}}{1-a}=a\left(\frac{u_n(1-a)}{1-a}-\frac{b}{1-a}\right)\) : j'ai mis sous une forme intéressante pour toi.
Bon courage

[Melisse]

Merci, sous cette forme je comprend mieux mais que faut-il faire après avoir trouver ce résultat ?
On a donc trouver vn+1 en fonction de vn mais ensuite je ne comprend pas trop où est-ce que l'on veut en venir...

[sos-math(21)]

Il te reste à simplifier : tu dois obtenir à la fin \(v_{n+1}=a\times v_n\), ce qui prouve que ta suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\).
Bonne conclusion

[Melisse]

Merci j'ai eu un trou mais en revoyant le calcul c'était évident. Bonne soirée.

[sos-math(21)]

Bonne continuation.