Complexes

[Alina]

Bonjour, je bloque sur une question en relation avec les nombres complexes et j'espère que vous pourriez m'aider.
La question est la suivante : Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z=x+iy où x et y sont des réels, tels que le point M' associé soit sur l'axe des réels.

En fait M' est définie par z'= z²+4z+3. De plus, avant cette question, on a calculé deux points invariants (M confondu avec M') et je trouve :
x1 = (-3-i√ (3))/2 et x2 = (-3+i√ (3))/2.

Alors je pense que pour que M' soit sur l'axe des réels, il faut que sa partie imaginaire soit nul or je n'obtient pas un résultat cohérent.
Sinon je doute qu'il faut que se soit la partie imaginaire de z' qui soit nul mais peut-être celle de z mais là encore je ne sais pas.

Merci à l'avance de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
M'(z') est réel si sa partie imaginaire est nulle.
cela signifie que le complexe \(z'=(x+iy)^2+4(x+iy)+3\) est un nombre réel.
Il te suffit donc de développer, d'isoler la partie réelle est la partie imaginaire et de dire que celle-ci est égale à 0, ce qui donne une condition sur x et y (c'est une équation qui va caractériser un ensemble géométrique).
Bon courage

[Alina]

Merci ,quand je développe (x+iy)² + 4(x+iy) + 3=0 , j'obtient y=0.
Est-ce qu'il est juste de conclure par : M' appartient à l'axe des réels ssi y=0 ?

[sos-math(21)]

Es-tu sûre de trouve seulement \(y=0\) ?
Quelle est la partie imaginaire obtenue ?

[Alina]

J'ai obtenue comme partie imaginaire 2xiy+4iy, j'ai résolu l'équation Im(z') = 0, on a donc 2xiy + 4iy=0, (en factorisant) y(2xi+4i)=0, et donc j'obtient y=0.

[sos-math(21)]

Factorise par i et tu auras \(y(2x+4)=0\) cela te fera deux solutions qui seront deux droites de ton plan.
Bonne conclusion

[Alina]

Je n'ai pas très bien compris, en fait quand on factorise 2xiy+4iy=0, on obtient i(2xy + 4y)=0, équivalent à 2xy+4y=0, on a y(2x+4)=0 (sur ce point je crois que je vous suis, enfin dites-moi si j'ai fais une erreur).
Ce que je n'ai pas compris est comment est-ce qu'on trouve ces deux solutions? De plus, comment c'est-on que se seront deux droites du plan?

[sos-math(21)]

Ok pour la factorisation,
quand tu arrives à \(y(2x+4)=0\) tu as deux possibilités :
soit \(y=0\) : c'est une droite ;
soit \(2x+4=0\) : c'est une autre droite (je pense que c'est cela qui va te gêner)
Revois les équations de droites, de toutes le droites, y compris les droites parallèles à (Oy) (droites verticales)
Bonne continuation