Exercice 23p65 Manuel TransMath T°S

[Théo]

Bonjour,
voilà j'ai un petit soucis pour un exercice: 23p65 (Manuel TransMath T°S). L'énoncé est le suivant:
"A, B et C sont les points d'abscisses respectives x, x+1 et x+2 de la courbe représentative de la fonction racine carré dans un repère orthonormé. On note S(x) l'aire du triangle ABC. Étudiez le comportement de S(x) lorsque x tend vers +infini."
Alors j'ai regardé avec GéoGébra son comportement et j'ai remarqué que S(x) diminué quand x tendait vers +infini. Alors pour le démontrer, j'ai voulu placer le point M à l'intersection du segment [AC] et de sa perpendiculaire passant par B. (Schéma ici:

) Donc avec mes points j'ai tenté de m'aider de la formule (AC.BM)/2 Mais je me trouve bloqué.
S'il vous plaît, pourriez-vous me dire si je suis sur la bonne voie et pourriez me donner quelques pistes car je sèche complètement.
Merci de votre compréhension.
En attente de votre réponse.
Théo.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta démarche est correcte : n'as tu pas d'autres questions qui accompagnent cet exercice ?
Cela paraît difficile....

[Théo]

Oui mais avez vous des pistes à me donner. Et oui cet exercice est vraiment dur. ^^

[sos-math(21)]

Tu es sur la bonne voie,
tu peux déterminer l'équation de la droite (AB) puis celle de la droite (BM), déterminer leur intersection M puis calculer les longueurs AC et BM afin de calculer l'aire.
Il y a plus simple si tu connais la formule donnant la distance d'un point à une droite.
Bon courage

[Théo]

Je dois trouver l'équation de (AB) ou (AC) car pour (AB) Je n'en vois pas l'intérêt. ^^

[Théo]

Ce que je ne comprends pas non plus c'est que, comment l'équation des droite (AB) ou (AC) et celle de (BM) pourront-elles m'aider?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Théo,

Ici l'idée est de rechercher l'équation de la droite (AC) et celle de (BM) afin de déterminer les coordonnées de M.
Ainsi tu pourras exprimer AC et BM et enfin l'aire du triangle.
Par contre, courage car ce n'est pas si simple...
Sinon je peux te proposer une autre idée, regarde l'aire de ce triangle comme l'aire du trapèze \(ABK_BH_A\) plus l'aire du trapèze \(BCH_CH_B\) moins celle du trapèze \(ACH_CH_A\) où \(H_A\) est le projeté de A sur l'axe des abscisses, de même pour \(H_B\) et \(H_C\).

Bon courage.

[Théo]

Wouah heureusement que c'est un exercice facultatif car je suis complètement embrouillé ^^.

J'ai réussi à déterminer l'équation de AC qui est y= √2 x et celle de (BM) qui est y=-√2 x+(1+√2). Je trouve donc les coordonnées de M en faisant √2 x = -√2 x+(1+√2)?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Théo,

Je ne me suis pas lancé dans ton idée, mais les propositions faites pour les équations de (AC) et (BM) me semblent erronées. Ces équations doivent dépendre de l'abscisse de A.

Bonne continuation sur ton idée.

[sos-math(21)]

Bonjour Théo,
je reprends en partie l'idée de ma collègue : le plus simple est de partager ton triangle en deux triangles :
tu traces la droite verticale passant par B, celle ci coupe (AC) en H cela forme deux triangles qui ont une base commune [BH].
Et les hauteurs relatives à cette base sont faciles à calculer.

Bon courage