suite recurence

[camille]

bonjour,
je suis en train de faire un exercice pour mon Dm

On considère les suites (Un) et (Vn) definies par U0=2 et pour tout n € N
Un+1= 5Un-3/Un+1
Vn= Un-1

1)après avoir calculé les 4 premiers termes de chacune des suites, conjecturer une formule explicite pour Vn
2) deduire une conjecture pour Un
3) la demontrer

j'ai trouvé Vn= 1(1/2)^n

pour le 2 Un= Vn-3/Vn-1 donc Un=-(1/2)^n-3/-(1/2)^n-1

pour la demonstration du 3 j'ai 5((-(1/2)^n-3/-(1/2)^n-1)-3))/(-(1/2)^n-3/-(1/2)^n-1)) je n'arrive par a le developper le résultat n'est pas correcte pour la demonstration pouvez vous m'aider
merci

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Camille,

Je ne peux pas t'aider car il doit manquer des parenthèses dans ton "Un+1" ...
D'ailleurs \(U_n+1\ne U_{n+1}\) le "+1" n'est pas placé au même endroit.

As-tu \(u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}\) ou autre chose ?

Peux-tu me redonner \(u_{n+1}\) avec des parenthèses ou bien utilise le bouton "éditeur d'équation" pour écrire avec des fractions ?

SoSMath.

[camille]

bonsoir,
mon équation est : voir image

[SoS-Math(9)]

Camille,

avec \(u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}\) et \(v_n=u_n-1\)

je trouve \(v_n=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n}}\).

Je ne sais pas comment tu as trouvé ton Uk+1 ....

Pour faire la question 3, il faut utiliser un raisonnement par récurrence !

SoSMath.

[camille]

pour la question 2 j'ai trouvé Un=1/2^n+3/1/2^n+1

donc pour la 3 pour Un+1 j'ai remplacé Un par ce que j'ai trouvé et c'est cette equation que je n'arrive pas a developper
merci pour votre reponse

[SoS-Math(9)]

Bonjour Camille,

Pour la question 3, il faut faire un raisonnement par récurrence :

propriété P(n) : pour tout entier n : Un=1/2^n+3/1/2^n+1

Initialisation : il faut vérifier que ta "formule de Un" marche pour n=0

hérédité : On suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) soit vraie.
Il faut montrer que P(n+1) est vraie.

conclusion : ....

A toi de faire cette démonstration.

SoSMath.

[camille]

bonjour,

j'ai compris qu'il faut faire l'initialisation puis hérédité

pour l’hérédité j'ai Un+1 comme sur l'image que je vous ai envoyé mais je n'arrive pas à trouver 3+(1/2)^n+1/1+(1/2)n+1

j'ai développé l'image que je vous ai envoyé mais je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire car je n'arrive pas à mon résultat

merci de m'indiquer si possible mon erreur et la demarche

[SoS-Math(9)]

Camille,

ton erreur doit venir de ta conjecture sur Un ... elle doit être fausse.

Pour Vn la conjecture est : \(v_n=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n}}\)

Or Un = Vn + 1, donc Un = ... (à toi de faire le calcul).

SoSMath.

[camille]

mon enoncé n'etait peut etre pas clair
mais dans l'enoncé on nous donne Vn=Un-3/Un-1
et non Vn=Un-1 comme vous avez noté

donc Vn= -(1/2)^n

ensuite j'ai trouvé Un=(1/2)^n+3/(1/2)^n+1

[sos-math(20)]

Tout cela est bien Camille.
Pour ta récurrence, repars de l'image que tu nous a envoyée, et commence par réduire au même dénominateur. Ensuite, simplifie au maximum ton expression.

SOSmath

[camille]

bonjour
je reviens vers vous car j'ai mis au même dénominateur et simplifier mais je ne trouve pas 2(3+(1/2)^n+1)/2(1+(1/2)^n+1)

numerateur 5(3+(1/2)^n)/(1+(1/2)^n)le tout -3

jai trouvé 15+5(1/2)^n-3-3(1/2)^n/1+(1/2)^n

soit 12+2(1/2)^n/1+(1/2)^n

le denominateur

3+(1/2)^n/1+(1/2)^n le tout +1

4+2(1/2)^n/1+1/2^n

donc j'ai multiplier le resultat de mon numerateur par l'inversedu denominateur

je trouve 6+(1/2)^/2+(1/2)^n

je n'ai pas de ^n+1 j'ai du faire une erreur

pouvez vous m'aider
merci

[sos-math(20)]

Tout ce que tu as fait est parfait, Camille.
Maintenant, multiplie le dénominateur ET le numérateur de ta dernière fraction par \(\frac{1}{2}\) et tu obtiendras le résultat que tu veux.

Bonne journée.

SOSmath

[camille]

bonsoir

pouvez vous m'expliquer pourquoi vous multiplier le numerateur et le denominateur par 1/2

merci

[sos-math(20)]

Bonsoir Camille,

Fais le et tu comprendras pourquoi .....
N'oublie pas que tu veux obtenir une certaine expression pour \(u_{n+1}\) et je t'aide à la faire "apparaître".

Bonne soirée

SOSmath