Aire sous une parabole

[Claire]

Bonjour, j'ai un problème sur un exercice.

On note f la fonction définie sur l'intervalle (0 ; 1) par f = x^2 et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
A correspond à l'aire du domaine situé sous la courbe, entre l'axe des abscisses et les courbes d'équations x = 0 et x = 1.
On partage l'intervalle (0 ; 1) en n intervalles (n est un entier naturel supérieur ou égal à 2) de même longueur 1/n. On construit donc n rectangles contenus dans D (en-dessous de la courbe) et n rectangle contenant D.

Démontrez que la somme des aires des rectangles contenus dans D est égale à : S = (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (n-1)^2)/n^3
De même avec la somme des aires des rectangles contenant D : S' = (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)/n^3

Pouvez-vous m'aider, je ne comprends pas.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Claire,

Prends un exemple avec n=4. Cela fait cinq points dans l'intervalle [0;1] : 0; 0,25, 0,5, 0,75 et 1 pour partager cet intervalle en quatre.

Voici un exemple avec un grand nombre :

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Bon courage !

[Claire]

Du coup, comment dois-je faire pour calculer la somme des aires ? Dois-je m'appuyer sur une formule de somme utilisée dans les suites ? Géométrique ou arithmétique dans ce cas ?

[sos-math(27)]

Bonjour Claire,
La formule que tu dois démontrer s'appuie sur la somme des aires de certains rectangles, c'est ce qu'il te faut expliquer.
Essaie de le faire pour une "petite" valeur de n (4 par exemple) puis généralise ton raisonnement.

Pour simplifier la formule obtenue, c'est une autre histoire, car oui, il faudrait sans doute t'appuyer sur des formules ou les retrouver. Cependant, il ne me semble pas que ce soit la question ici ?
A bientôt