Bonsoir,
En m’entraînant sur des exercices sur les nombres complexes, je suis tombée sur certains pour lesquels le corrigé proposait une méthode, le binôme de Newton. Il me semble que ce n'est plus au programme mais j'aimerais cependant savoir dans quel contexte il pourrait être utile et quelle formule est à appliquer.
Merci d'avance.
Binôme de Newton
-
Elise Ts
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Binôme de Newton
Bonjour Elise,
Tu as \(\e^{i\theta}=cos \theta + i sin \theta\) tu peux donc en déduire \((\e^{i\theta})^n=(cos \theta + i sin \theta)^n\) ce qui te donne \(\e^{i \times n \theta}=(cos \theta + i sin \theta)^n\) soit \(cos n\theta + i sin n\theta= (cos \theta + i sin \theta)^n\).
Tu développs alors le second membre de l'égalité à l'aide de la formule du binôme de Newton et en identifiant les parties réelles puis les parties imaginaires tu obtiens des égalités qui te donnent des formules trigonométriques.
Par exemple : \(cos 3\theta + i sin 3\theta= (cos \theta + i sin \theta)^3=(cos\theta)^3 + 3i (cos \theta)^2sin \theta -3cos \theta (sin \theta)^2- i(sin(\theta)^3\).
Tu en déduis que \(cos 3\theta = (cos \theta)^3-3cos\theta(sin(\theta)^2\) et que \(sin 3\theta=3(cos\theta)^2sin\theta-(sin\theta)^2\).
Tu peux continuer en utilisant \((sin\theta)^2=1-(cos\theta)^2\) dans la première égalité pour n'avoir que des cosinus. De même dans la seconde pour n'avoir que des sinus.
Il y a encore d'autres possibilités mais ce n'est pas du programme.
Bonne journée
Tu as \(\e^{i\theta}=cos \theta + i sin \theta\) tu peux donc en déduire \((\e^{i\theta})^n=(cos \theta + i sin \theta)^n\) ce qui te donne \(\e^{i \times n \theta}=(cos \theta + i sin \theta)^n\) soit \(cos n\theta + i sin n\theta= (cos \theta + i sin \theta)^n\).
Tu développs alors le second membre de l'égalité à l'aide de la formule du binôme de Newton et en identifiant les parties réelles puis les parties imaginaires tu obtiens des égalités qui te donnent des formules trigonométriques.
Par exemple : \(cos 3\theta + i sin 3\theta= (cos \theta + i sin \theta)^3=(cos\theta)^3 + 3i (cos \theta)^2sin \theta -3cos \theta (sin \theta)^2- i(sin(\theta)^3\).
Tu en déduis que \(cos 3\theta = (cos \theta)^3-3cos\theta(sin(\theta)^2\) et que \(sin 3\theta=3(cos\theta)^2sin\theta-(sin\theta)^2\).
Tu peux continuer en utilisant \((sin\theta)^2=1-(cos\theta)^2\) dans la première égalité pour n'avoir que des cosinus. De même dans la seconde pour n'avoir que des sinus.
Il y a encore d'autres possibilités mais ce n'est pas du programme.
Bonne journée
-
Elise Ts
Re: Binôme de Newton
Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair.
Bonne soirée.
Bonne soirée.