Produit scalaire et loi binomiale

[Manon]

Bonjour,
J'aimerai vous faire part de mon devoir maison sur le produit scalaire et loi binomiale, je souhaiterai m'améliorer pour mon prochain contrôle qui arrive bientôt donc je n'ai pas compris certaines choses et si j'ai fais des fautes j'aimerai que vous me le dîtes s'il vous plaît.

Exercice 1:
ABCD est un carré de côté a. I, I' et J sont les milieux respectifs des côtés [AB], [DC] et [BC]
1) Faire une figure (faite)
2) Démontrer que les droites (CI) et (DJ) sont perpendiculaires
Les vecteurs CI.DJ = (CB+BI).(DC+CJ)
= CB.DC + CB.CJ + BI.DC + BI.CJ
= 0 + 1/2a² - 1/2a² + 0
= 0
Les droites sont donc bien perpendiculaires
3) Calculer les vecteurs CA.JI à l'aide de la relation de Chasles
CA.JI = (CB+BA).(JB+BI)
= CB.JB + CB.BI + BA.JB + BA.BI
= 1/2a² + 0 + 0 + 1/2a²
= a²
4) Calculer les longueurs CA et JI à l'aide du théorème de pythagore
CA² = CB² + BA²
= a² + a²
= 2a²
= Racine carré de 2a²
CA = 2a

JI² = JB² + BI²
= 1/2a² + 1/2a²
= a²
JI = a
5) Démontrer que (CA) est parallèle à (JI) à l'aide du théorème des milieux. (Je ne sais pas ce qu'est le théorème des milieux donc si quelqu'un pourrai m'expliquer je lui en serai reconnaissante.)
6) Déduire des questions 4 et 5 la valeur du produit scalaire des vecteurs CA.JI. (Il me manque la question précédente)

Exercice 2:

Soit un triangle équilatéral de côté b
Les points I, J et K sont respectivement sur [AB], [BC] et [AC] telle que AI=BJ=CK= b/3
1) Démontrer que les triangles AIK, BJI et JKC sont rectangles respectivement en I, J et K
Je suis donc partie du principe de le démontrer grâce à pythagore mais pour ça il me fallait le côté IK pour le triangle AIK. J'ai essayé de le déterminer grâce à la formule d'Al-Kashi en obtenant b²/18 . Mais quand je veux démontrer qu'il est rectangle je n'obtient pas le même résultat pour que AK² = AI² + IK². Je me suis certainement trompé quelque part mais où ?
2)En déduire que IJK est un triangle équilatéral.

Exercice 3:

Un sac contient 5 boules bleues et 3 boules vertes.
On tire successivement et avec remise trois boules du sac.
Soit x la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
1) Quelle loi suit la variable X. Justifier votre réponse et donner les paramètres de cette loi.
La variable X suit la loi binomiale :
Epreuve de bernouilli :
On tire une boule du sac et la boule est verte (S) P= 0,375 ou 3/8
ou la boule est bleue (Sbarré) P= 0,625 ou 5/8
Schéma de bernouilli:
On répète l'épreuve 3 fois et avec indépendance car on l'a assimilé avec remise.
La variable X comptabilise le nombre de boules vertes tirées et à ce titre elle suit une loi binomiale.

J'ai ensuite réalisé un arbre
2) Calculer P(X=0)
P(X=0)= (3) * (3/8)puissance 0 * (5/8)puissance 3 = (5/8) puissance 3 = 125/512
(0)
3)Calculer P(X=1)
P(X=1) = (3) * (3/8) puissance 1 * (5/8) puissance 2 = 225/512
(1)
4)Calculer P(X=2)
P(X=2) = (3) * (3/8) puissance 2 * (5/8) puissance 1
(2)
5)Calculer P(X=3)
P(X=3) = (3) * (3/8) puissance 3 * (5/8) puissance 0
(3)
6)Calculer l'espérance de la variable X
E(x) = 0*125/512 + 1*225/512 + 2*135/512 + 3*27/512
= 9/8

Voilà j'ai fini un grand merci pour celui/celle qui aura pris le temps de lire et de me répondre.
Bonne journée

[SoS-Math(9)]

Bonjour Manon,

Il faut éviter de mettre 3 exercices dans un même message, mais plutôt créer 3 messages.

Exercice 1
Tu as commis quelques erreurs ....
4) tu as écris
CA² = CB² + BA²
= a² + a²
= 2a²
= Racine carré de 2a² c'est faux, ce n'est pas CA² mais CA ...
CA = 2a c'est faux ...\(\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}\times \sqrt{a^2}=\sqrt{2}a\neq 2a\)

JI² = JB² + BI²
= 1/2a² + 1/2a² c'est faux ... tu as JI² = (1/2a)² + (1/2a)² = \(\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2=\frac{2}{4}a^2=\frac{1}{2}a^2\)
Donc JI = ... (je te laisse terminer !)

5) Droite des milieux dans un triangle : si une droite passe par le milieu de deux côté d'un triangle, alors elle est parallèle au 3ème côté.

Exercice 2

L'idée est plutôt de montrer que le produit scalaire \(\vec{AI}.\vec{IK}\) est nul.
Pour cela il faut décomposer grâce à Chasles les vecteurs \(\vec{AI}\) et \(\vec{IK}\).

Exercice 3

Cela semble juste.

SoSMath.