Suites

[Alice]

Bonjour, pourriez-vous m'aider pour cet exercice, s'il vous plaît ?

On me donne une suite u qui vérifie pour tout n : \(u_{n+1} = u_n^2 - u_n + 1\).
On suppose que \(u_0 = 1,1\).
On me demande quelle est la limite de cette suite, je pense que c'est \(+ \infty\) ou qu'il n'y en a pas.

Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux commence par montrer que ta suite est croissante en étudiant \(u_{n+1}-u_n\) que tu chercheras à factoriser.
Ensuite tu peux montrer (par récurrence ?) que ta suite est majorée par 1 : \(u_n-1\leq 0\) pour tout n.
Ta suite sera ..... et ...... donc elle sera .....
Elle convergera vers un réel \(\ell\) qui sera solution de \(\ell=\ell^2-\ell+1\).
Est-ce bien un exercice de 1ère ? Je dirai plutôt terminale.
Bon courage

[Alice]

D'accord, merci, oui c'est bien un exercice de première, c'est juste que j'ai déjà répondu à des questions avant.
Mais je veux juste savoir si la limite est \(+ \infty\) ou s'il n'y en a pas.
Je vous remercie d'avance.

[sos-math(21)]

Effectivement, je n'avais pas noté la valeur du premier terme donc la suite n'est pas majorée par 1.
Donc elle est croissante et ne "s'arrête" jamais sa limite sera bien \(+\infty\).
Je te laisse terminer