Intégrale

[Léa]

Bonjour, je suis bloquée à la question 1-b de cet exercice car j'arrive à démontrer que 1/2<1/(2-x)<1 et que 1/e<e^-x<1 or ça me donne 1/2e<f(x)<1. Je ne trouve pas mon erreur.
Et pour la question 2)c je suis également bloquée car nous avons la valeur de J mais seulement un encadrement de k donc comment peut on faire la somme ?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as du montrer que ta fonction est décroissante sur \([0\,;\,1]\) donc pour tout réel \(x\), tel que \(0\leq x\leq 1\), tu as \(f(1)\leq f(x)\leq f(0)\) (une fonction décroissante renverse l'ordre).
Je te laisse terminer les calculs.

[Léa]

Merci pour votre aide. J'ai réussit.
Mais pour la question 2)c je suis également bloquée car nous avons la valeur de J mais seulement un encadrement de k donc comment peut on faire la somme ?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

On n'a pas besoin des valeurs, il s'agit seulement d'utiliser la linéarité de l'intégrale : \(J+K=\int{0}^{1}(2+x)e^{-x}dx+\int_{0}^{1}\frac{x^2e^{-x}}{2-x}dx=\int_{0}^{1}\left((2+x)e^{-x}+\frac{x^2e^{-x}}{2-x}\right)dx\).
je te laisse désormais mettre ces deux termes sous le même dénominateur et les additionner, tu dois obtenir des simplifications.
Bon courage

[Lea]

J'y avais pensé mais je trouvais 2xe^-x et je ne trouve pa de lien avec 4I
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Tu as du te tromper dans tes calculs car quand tu mets au même dénominateur, tu obtiens :
\(\frac{(2-x)(2+x)e^{-x}+x^2e^{-x}}{2-x}\) et il faut développer (\((2-x)(2+x)\) est une identité remarquable...)
Bon calcul.

[Paul]

Je trouve e^-x(4-4x+2x^2)/2-x que je n'arrive pas à simplifier pour obtenir 4I

[sos-math(21)]

Évidemment, si tu ne connais pas tes identités remarquables :
\((2+x)(2-x)\) est de la forme \((a+b)(a-b)\) qui se développe en \(a^2-b^2\).
Reprends donc cela.