Devoir Maison : Probabilité

[Justine]

Bonjour,

Énoncé :
Une entreprise fabrique des cartes graphiques pour ordinateurs.
Deux ateliers de fabrication se répartissent la production de la journée.
L’atelier A produit 60% des cartes et l’atelier B en produit 40%.
Les contrôle de qualités ont montré qu'un jour donné 2% des cartes de l’atelier A et 1% des cartes de
l’atelier B présentaient un défaut.
Chaque carte graphique a un coût de production de 10 euros dans l’atelier A et de 15 euros dans
l’atelier B.
Les cartes défectueuses sont détruites pour un coût de destruction de 5 euros chacune.
Les autres cartes sont vendues 50 euros l'unité.
On suppose que toute la production est vendue. On appelle X la variable aléatoire égale au coût total d'une carte graphique.

1) Déterminer la loi de probabilité de X.
On note les événements :
A :« La carte est fabriquée dans l’atelier A »
B :« La carte est fabriquée dans l’atelier B »
D :« la carte présente un défaut »
(voir tableau 1)

Valeurs de X :
Cas 1 : la pièce est fabriquée dans l’atelier A et est vendue :
X1 = 50 − 10 = 40 euros de bénéfice
Cas 2 : la pièce est fabriquée dans l’atelier A et n’est pas vendue :
X2 = −10 − 50 = −15 euros de bénéfice
Cas 3 : la pièce est fabriquée dans l’atelier B et est vendue :
X3 = 50 − 15 = 35 euros de bénéfice
Cas 4 : la pièce est fabriquée dans l’atelier B et n’est pas vendue :
X4 = −15 − 5 = −20 euros de bénéfice

Loi de probabilité de X :
(Voir tableau 2)

2) Déterminer l'espérance de X. Interpréter ce dernier résultat.
Espérance :
E(X) = −20 × 0, 0004 − 15 × 0, 0016 + 35 × 0, 00396 + 40 × 0, 00588 = 37, 12
Interprétation :
Sur un tr`es grand nombre de cartes fabriquées, l’entreprise peut espérer un bénéfice moyen de
37,12 euros.

3) Y désigne le chiffre d'affaires réalisé par cette carte graphique. Déterminer la loi de probabilité, puis l'espérance de la variable aléatoire Y.
Je ne sais pas quelles valeurs utiliser.

Cordialement.

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord avec ton tableau à double entrée et tes calculs de probabilité.
Mais tu associes à X le bénéfice alors que que X est censé mesurer le coût total d'une carte graphique.
donc tu dois avoir les couts suivants :
\(A\cap D\) : 15
\(A\cap \overline{D}\) : 10
\(B\cap D\) : 20
\(B\cap\overline{D}\) : 15.
Il faut calculer l'espérance avec ces valeurs de la variable X.
De même Y représente le chiffre d'affaires, c'est-à-dire le montant généré par la vente des cartes :
\(A\cap D\) : 0 car pas vendue
\(A\cap \overline{D}\) : 50
\(B\cap D\) : 0 car pas vendue
\(B\cap\overline{D}\) : 50.
Je te laisse terminer.
Une fois cela fait, tu peux déterminer la variable aléatoire bénéfice définie par Z=Y-X (c'est ce que tu as fait directement, alors qu'il fallait décomposer en coût et en chiffres d'affaires).
Je te laisse reprendre.
Bon courage

[Justine]

Bonjour,

1) Déterminer la loi de probabilité de X.
On note les événements :
A :« La carte est fabriquée dans l’atelier A »
B :« La carte est fabriquée dans l’atelier B »
D :« la carte présente un défaut »
(voir tableau 1)

Y représente le chiffre d'affaires, c'est-à-dire le montant généré par la vente des cartes :
\(A\cap D\) : 0 car pas vendue
\(A\cap \overline{D}\) : 50
\(B\cap D\) : 0 car pas vendue
\(B\cap\overline{D}\) : 50.

Valeurs de X :
Cas 1 : la pièce est fabriquée dans l’atelier A et est vendue : (événement \(A\cap \overline{D}\))
X1 = 50 − 10 = 40 euros de bénéfice
Cas 2 : la pièce est fabriquée dans l’atelier A et n’est pas vendue : (événement \(A\cap D\))
X2 = 0 − 15 = −15 euros de bénéfice
Cas 3 : la pièce est fabriquée dans l’atelier B et est vendue : (événement \(B\cap\overline{D}\))
X3 = 50 − 15 = 35 euros de bénéfice
Cas 4 : la pièce est fabriquée dans l’atelier B et n’est pas vendue :(événement \(B\cap D\))
X4 = 0-20 = −20 euros de bénéfice (Mais du coup dans mon deuxième tableau, j'avais mi -10 mais c'est -20 ?)

Et la variable aléatoire de V(x)= 0.004*(-10)^2 +0.012*(-15)^2 +0.396*(35)^2 +0.588*(40)^2 = 1429

Cordialement.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu ne tiens pas compte de mon message donc je te renvoie la même réponse : tu ne réponds pas à la question, la variable aléatoire X doit mesurer le coût total de fabrication d'une carte.
Relis mon dernier message.

[Justine]

Je vous avoue que je suis un peu perdu... je ne sais plus quelles valeurs utiliser.

Bonjour,
je suis d'accord avec ton tableau à double entrée et tes calculs de probabilité.
Mais tu associes à X le bénéfice alors que que X est censé mesurer le coût total d'une carte graphique.
donc tu dois avoir les couts suivants :
\(A\cap D\) : 15
\(A\cap \overline{D}\) : 10
\(B\cap D\) : 20
\(B\cap\overline{D}\) : 15.
Il faut calculer l'espérance avec ces valeurs de la variable X.

Donc :
E(x)= 0.004*10 +0.012*15 +0.396*15 +0.588*20
E(X)= 448/25= 17,92

De même Y représente le chiffre d'affaires, c'est-à-dire le montant généré par la vente des cartes :
\(A\cap D\) : 0 car pas vendue
\(A\cap \overline{D}\) : 50
\(B\cap D\) : 0 car pas vendue
\(B\cap\overline{D}\) : 50.

Et :
E(Y)= 0.004*50 +0.012*0 +0.396*50 +0.588*0
E(Y)= 20

Une fois cela fait, tu peux déterminer la variable aléatoire bénéfice définie par Z=Y-X (c'est ce que tu as fait directement, alors qu'il fallait décomposer en coût et en chiffres d'affaires).

Donc il faut faire E(Y)-E(X) ?
E(Y)-E(X)= 20-17,92 = 2,08

Cordialement.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Justine,

Tu n'as pas associé les bons coûts aux bonnes probabilités dans E(X) et E(Y).

Pour E(X) par exemple :

La carte est fabriquée dans l'atelier A et n'a pas de défaut donc le calcul correspondant dans l’espérance est : \(10\times 0,588\).

Bon courage !

[Justine]

Bonjour,

Donc :
E(x)= 0.004*20 +0.012*15 +0.396*15 +0.588*10
E(X)= 302/25= 12,08

Et :
E(Y)= 0.004*0 +0.012*50 +0.396*0 +0.588*50
E(Y)= 30

E(Y)-E(X)= 30-12,08 = 17,92

Est-ce cela ?
Cordialement.

[sos-math(21)]

Bonjour,
ok pour E(X), les calculs sont corrects.
Pour Y, il y a des erreurs, puisque la probabilité \(0,012\) est associé à une carte défectueuse donc une recette nulle.
Reprends cela en t'aidant du schéma que je t'envoie.

Bon courage

[Justine]

Je pense avoir compris,

E(Y)= 0.004*50 +0.012*0 +0.396*0 +0.588*50
E(Y)= 29,6

E(Y)-E(X)= 29,6 -12,08 = 17,52

Cordialement.

[sos-math(21)]

Tu as encore mélangé les probabilités et les valeurs !

0.004*50

est faux.
Utilise l'arbre que je t'ai proposé.

[Justine]

Mais la valeur 0.004 ne se trouve pas dans l'arbre...

Par déduction:
E(Y)= 0.004*0 +0.012*0 +0.396*50 +0.588*50
E(Y)= 49,2

E(Y)-E(X)= 49,2 -12,08 = 37,12

Est-ce correct ?

[sos-math(21)]

J'ai pris une de tes valeurs donc évidemment que 0,004 est une valeur de l'exercice.
Ton dernier calcul me paraît correct.
Bonne continuation.

[Justine]

Donc si je récapitule :

1) Déterminer la loi de probabilité de X.
On note les événements :
A :« La carte est fabriquée dans l’atelier A »
B :« La carte est fabriquée dans l’atelier B »
D :« la carte présente un défaut »
(voir tableau 1 du début)

Loi de probabilité de X :
(Voir tableau 2 au début)

2) Déterminer l'espérance de X. Interpréter ce dernier résultat.
(Je mets votre schéma/arbre)
Espérance :
E(x)= 0.004*20 +0.012*15 +0.396*15 +0.588*10
E(X)= 302/25= 12,08

Interprétation :
Sur un très grand nombre de cartes fabriquées, l’entreprise peut espérer un bénéfice moyen de
12,08 euros. Est-ce correct ?

3) Y désigne le chiffre d'affaires réalisé par cette carte graphique. Déterminer la loi de probabilité, puis l'espérance de la variable aléatoire Y.
(je fais un tableau pour déterminer la loi de probabilité)
E(Y)= 0.004*0 +0.012*0 +0.396*50 +0.588*50
E(Y)= 49,2

Variable aléatoire de bénéfice définie par Z=Y-X
E(Y)-E(X)= 49,2 -12,08 = 37,12

Est-ce correct ?
Cordialement.

[sos-math(27)]

Bonsoir Justine, attention,
X représente le coût,

Sur un très grand nombre de cartes fabriquées, l’entreprise peut espérer un bénéfice moyen de
12,08 euros.

j'ajouterai par carte produite.

Pour l'espérance de Y et celle de Z, oui, c'est correct.

Bonne continuation, à bientôt

[Justine]

Très bien je corrige, merci.

En revanche, pour mon deuxième tableau, pour la loi de probabilité de X, on a bien :
Xi: 10/15/15/20 (et non: -10/-15/35/40)
p(X:xi): 0,004/0,012/0,396/0,588

Est-ce cela ?
Cordialement.