SPE MATHS : Nombres de Mersenne

[Estelle]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice type "activités de recherche" à faire et j'aimerai savoir si j'ai assez développé mes réponses car c'est un exercice où faut approfondir je pense.

[Estelle]

A) Observation

1) Si n=1, 2^n-1=1 ; si n=2, 2^n-1=3 ; si n=3, 2^n-1=7 ; si n=4, 2^n-1=15 ; si n=5, 2^n-1=31 ; si n=6, 2^n-1=63 ; si n=7, 2^n-1=127 ; si n=8, 2^n-1=255 ; si n=9, 2^n-1=511 ; si n=10, 2^n-1=1023

2) Le nombre 2^n-1 est premier pour n=2, n=3, n=5 et n=7.
On peut alors conjecturer : Si 2^n-1 est premier alors n est premier.

B) Démonstration

1) a. C'est une suite géométrique de raison 2^p. On sait que Somme des termes = 1er terme*(1-raison^nbre de terme)/1-raison. Donc 1+2^p+...+(2^p)^pq = 1*(1-2^pq)/1-2^p

b. 2^n-1 = (2^p-1)(1+2^p+...+(2^p)^q-1) avec (2^p-1) > 1

On en déduis alors que 2^n-1 n'est pas premier et la condition est nécessaire.

c. 2^33-1 est divisible par 2^3-1 ou 2^11-1 car 33 est divisible par 3 et 11.
2^33-1 est donc divisible par 7.

2) a. 2^11-1 = 2047 = 23*89

b. (Fallais pas la faire)

3) Il ets nécessaire, mais pas suffisant, que n soit premier pour que le nbre de Mersenne 2^n-1 soit premier. La réciproque "Si n est premier alors 2^n-1 l'est aussi" est donc fausse.


La partie C est en pièce jointe.

Merci de bien vouloir me corriger.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Estelle,

J'ai regardé rapidement ton travail. Cela semble correcte.

Pour la partie C, il faut juste faire des calculs ...

SoSMath.

[Estelle]

Bonjour,

Ma partie C est en pièce jointe et je n'ai fais que des calculs.

[SoS-Math(9)]

Estelle,

Tes calculs semblent corrects.

SoSMath.

[Estelle]

Merci SOS maths de m'avoir corriger.

[SoS-Math(9)]

A bientôt.

SoSMath.