Devoir à la Maison.

[Amélie]

Bonjour,
voici le 1er exercice de mon DM :

f est la fonction définie sur R par :
f(x) = 1/2 x^2 + 3x -1/2

P est la courbe représentant f dans un repère orthogonal.
a) Tracer la courbe P à l'écran d'une calculatrice et conjecturer les coordonnées du sommet S de P.

b)Pour savoir si cette conjecture est vraie :
- factoriser f(x)-4 à l'aide d'une identité remarquable;
- en déduire pour tout réel x, f(x) ≤ 4.

c) Conclure maintenant sur les coordonnées de S.

Cet exercice me pose énormément de problèmes, d'autant plus que j'ai toujours eu des difficultés avec la factorisation.
J'ai donc seulement répondu à la question a) : Il semble que S(3;4).

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Amélie,

Es-tu sure de ta fonction f ?

Est-ce bien : \(~\dfrac{1}{2}x^2 + 3x - \dfrac{1}{2}\) ?

Si c'est le cas, l'énoncé ne me semble pas coller avec cette fonction. Ici, f(2) = 7,5 qui est plus grand que 4.

Je pense que c'est : \(~ - \dfrac{1}{2}x^2 + 3x - \dfrac{1}{2}\).

Ainsi, quel est le résultat de f(x)-4 ?

Ensuite, essaye de factoriser par \(~-\dfrac{1}{2}\) avant de trouver l'identité remarquable.

Bon courage !

[Amélie]

Bonjour,
il s'agit en effet d'une erreur de ma part, la fonction est bien la votre !

Mon résultat après factorisation est : -1/2 (x-3)²
Est ce juste ?
Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Cela me paraît correct.
Bonne continuation

[Amélie]

Bonjour,
merci de votre réponse. Je suis toutefois bloquée pour la suite des questions et ne vois absolument pas comment procéder !
Merci d'avance...

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as montré que \(f(x)-4=\frac{-1}{2}(x-3)^2\) : quel est le signe de \(\frac{-1}{2}(x-3)^2\) ? Que peux-tu en déduire de \(f(x)-4\) ?
Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on l'égalité \(f(x)-4=0\) ?
Réponds à tout cela et tu auras la fin de ton exercice.

[Amélie]

Alors,
(x−3)²≥0
−1/2(x−3)²≤0
donc f(x)−4≤0
donc f(x)≤4

Si x est négatif alors f(x)≤4 ?

Merci.

[sos-math(21)]

C'est presque cela sauf que cela ne dépend pas du signe de \(x\) :
\(f(x)\leq 4\) pour tout \(x\) !
Existe-t-il une valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x)=4\) ?
Si tu réponds à cette question, tu auras terminé l'exercice.

[Amélie]

Bonsoir,
serait ce f(x) <= 4 = f(x)-4<=0
Un carré est toujours positif, donc si je multiplie un négatif par un positif j'obtiendrai toujours un nombre négatif ?


c) La conjoncture est donc vraie : S(3;4)

Faut-il détailler plus ?

Merci et bonne soirée.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Amélie,

Cela me semble correct. Pour détailler un peu plus tu peux montrer que f(3) = 4 par le calcul.

A bientôt !