Exponentielle

[Laurie]

Bonjour,
Je suis bloquée à la partie  de cet exercice. Je n'arrive pas à répondre à la question 1 car je ne sais pas ce que je dois résoudre comme équation pour démontrer le si et seulement si ? De plus, je n'arrive pas à répondre à la question 1) de la partie B car quand je résoud g(x)=x je trouve x=e^-x ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Laurie,

Pour la question 1 partie A, il faut juste transformer l'écriture ...
Si f(x) = 0, alors \(x-e^{-x}=0\) soit \(x=e^{-x}\) ... je te laisse terminer
réciproquement :
si x solution de (E), alors \(e^x=\frac{1}{x}\). Or \(\ f(x) = x - e^{-x}\) ....

Rappel : \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\).

Pour la question 1 partie B, il faut faire le même travail !

SoSMath

[Laurie]

Je ne comprends pas car si f(x)=0 alors x=1/e^x mais en aucun cas je trouve que x est solution de l'équation ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Laurie,

si x est le réel qui vérifie l'équation x=1/e^x alors il est solution de cette équation.

SoSMath.

[Laurie]

Merci pour votre aide.
Je suis à présent bloquée à la partie B question 2 que je ne sais pas comment résoudre ? De plus pour la question 3 je trouve comme dérivée : (1+e^x)(-x)/(1+e^x)^2 et donc je trouve que la fonction est décroissante sur [0,+inf[ alors que je devrais trouver croissante ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Laurie,

A la question A2, tu as montré que \(\alpha\) était l'unique solution de (E).
Tu as aussi montré que x solution de (E) <=> f(x) = 0 <=> g(x)=x
Donc g(\(\alpha\)) = \(\alpha\).

Ta dérivée est fausse ... g est de la forme \(\frac{u}{v}\) avec \(u=1+x\) et \(v=1+e^x\).

SoSMath.

[Laurie]

Merci de votre aide.
Mais après modifications je trouve que g'(x)=(1-xe^x)/(1+e^x)^2 or je ne sais pas trouver le signe de 1-xe^x. Pouvez vous m'aidez svp ?
De plus, pour la question 3)a de la partie C j'ai écrit comme algorithme:
Variables: n,u,k
Initialisation: u prend la valeur 0
Saisir n
Traitement: pour k allant de 1 à 10^-6
u prend la valeur (1+u)/(1+e^u)
Fin pour
Sortie
Afficher u

Est ce juste ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Laurie,

g'(x) = 0 <=> 1-xe^x = 0 <=> e^x = 1/x <=> x = \(\alpha\).

Pour l'algorithme, tu as fait une erreur dans ta boucle : pour k allant de 1 à n et non 10^-6.

Le "10^-6" est juste là pour te dire qu'il faut que tu écrives 6 chiffres après la virgule.

SoSMath.

[Laurie]

Merci pour votre aide.