Une question Vecteurs

[Juliette]

Bonjour , j'ai un exercice et j'aurais besoin de votre aide pour une question svp , Merci d'avance .
Problème ouvert
Soit ABC un triangle, P, Q et R les points définis par ⃗BP =1/3 BC
⃗CQ=1/3 CA et⃗AR= 1/3AB
Les droites (BQ) et (RC) se coupent en I. Soit J le milieu du segment [BI].
1 ) Montrer que les points A, J et P sont alignés.

2 ) On appelle K le point d'intersection des droites (AP) et (CR) . Montrer que le point I est milieu du segment [KC] et K le milieu de [AJ].
3 ) Montrer que l'aire du triangle IJK est égale au septième de l'aire du triangle ABC.

J'ai tous fais sauf la question 3)- je ne comprend pas comment il faut faire . Si on fais base fois hauteur /2 , sa va nous servire a quoi ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
commence par faire une figure,

L'aire de tes trois triangles ABP, BQC et ARC valent toutes 1/3 de l'aire de ABC (car on prend le tiers de la base fois la hauteur).
Donc si tu fais la somme de ces trois aires, tu obtiens l'aire de ABC, mais il y a des chevauchements et un trou : BJP, ARK et IQC sont comptés deux fois alors que IJK n'est pas compté donc cela signifie que IJK est la somme des aires de ces trois triangles.
Si tu notes \(a\), l'aire du triangle ARK, en utilisant encore le tiers des aires, tu obtiens que l'aire de \(\mathcal{A}(ABK)=3a\)
Essaie maintenant de prouver que l'aire de l'aire de AKC vaut \(6a\).
Bon calcul

[Juliette]

Bonjour,
commence par faire une figure,

dudeney.png

L'aire de tes trois triangles ABP, BQC et ARC valent toutes 1/3 de l'aire de ABC (car on prend le tiers de la base fois la hauteur).
Donc si tu fais la somme de ces trois aires, tu obtiens l'aire de ABC, mais il y a des chevauchements et un trou : BJP, ARK et IQC sont comptés deux fois alors que IJK n'est pas compté donc cela signifie que IJK est la somme des aires de ces trois triangles.
Si tu notes \(a\), l'aire du triangle ARK, en utilisant encore le tiers des aires, tu obtiens que l'aire de \(\mathcal{A}(ABK)=3a\)
Essaie maintenant de prouver que l'aire de l'aire de AKC vaut \(6a\).
Bon calcul

Merci bcp , pour la question 2 je l'ai faite car un de vos collègue m'avais donner une méthode et j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est correcte et répond bien a la question , svp ?

K sera le milieu de [AJ] si AK = K* AJ
AK=AR + RK
= 1/3 AB + RK
AJ= AR + RJ
=1/3 AB + RJ
AK=1* AJ

Donc K est bien le Miley de [AJ]

I sera le milieu de [CK ] si CI = K* CK
CI = CQ + QI
=1/3CA + QI
Ck= CQ + QK
= 1/3 ÇA + QK
cI = 1* CK

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne vois pas en quoi tes décompositions prouvent le milieu, tu exprimes les deux vecteurs en fonction d'autres vecteurs mais ceux-ci n'ont rien à voir.
Je te conseille de travailler dans le repère \((A,\vec{AC},\vec{AB})\) :
détermine les coordonnées de tous les points dans ce repère puis calcule les pentes des droites (AJ) et (AP).
Bon courage, il y a du calcul.