Exercice d'optimisation

[Claire (S)]

Bonjour.

Voici l'énoncé de mon exercice : C est un cercle de centre O et de rayon R. A er B sont deux points appartenant à C tels que (OA) et (OB) sont perpendiculaires. Pour tout point M appartenant au petit arc AB, H et K sont les points tels que H appartient à (OA) et K appartient à (OB), de manière à ce que le quadrilatère HMKO soit un rectangle. Déterminer la position du point M sur le petit arc AB telle que l'aire du rectangle HMKO soit maximale.

Mes hypothèses :
- Parmi tous les rectangles, celui qui a la plus grande aire est le carré.
- On peut utiliser la formule du produit maximal : xy = ((x+y)^2-(x-y)^2)/4
- On peut créer une fonction puis la dériver. Ainsi, il faut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles OMH ou OKH mais il manque la mesure du rayon.

Merci de vos réponses.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Claire,

On va se placer dans le repère orthonormé \((O;\frac{1}{R}\vec{OA},\frac{1}{R}\vec{OB})\).

On pose M(x , y) dans ce repère.

Tout d'abord, il faut l'équation du cercle. M appartient au cercle de centre O et de rayon R, donc OM = R soit OM² = R².
Exprime OM² en fonction de x et y. tu auras alors l'équation de ton cercle.

Ensuite détermine y en fonction de x.

SoSMath.

[Claire]

En fait, nous n'avons jamais fait ça, jamais "d'équation de cercle".

[SoS-Math(9)]

Claire,

D'accord ...
Dans le repère donné, on a M(x, y) avec x = OH et y = OK.
Ton triangle OMH est rectangle en H, donc tu peux calculer HM en fonction de R et x.
Mais OHMK est un rectangle, donc y = OK = MH.

SoSMath.

[Claire]

Je trouve : HM = racine(R^2 - x^2)
Comment dois-je faire ensuite ?

[SoS-Math(9)]

Claire,

Maintenant tu connais y en fonction de x.
Donc tu peux calculer l'aire A(x) de ton rectangle en fonction de x.
Il ne te reste plus qu'à étudier ta fonction A(x).

SoSMath.

[Claire]

L'aire est égale à : MH x OH = x(racine(R^2 - x^2))
Comment peut-on dériver ça ?

[SoS-Math(9)]

Claire,

tu n'as pas dû voir en 1ère la dérivée de \(\sqrt{u}\).

Ce n'est pas grave ! Il faut étudier la fonction f(x) = A² = (x(racine(R^2 - x^2)))² = x²(R²-x²)
En effet lorsque A sera maximum, son carré, donc f(x), le sera aussi.

SoSMath.

[Claire]

Dois-je faire un tableau de variations ? À quelle distance sera donc le point M ?

[SoS-Math(9)]

Oui Claire, il faut faire un tableau de variation !
Le maximum te sera donné par le tableau de variations ...
Peux-tu me donner ta dérivée f '(x) ?

SoSMath.

[Claire (S)]

Si on étudie la fonction f(x) = x^2(R^2 - x^2), j'imagine que la dérivée doit être f'(x) = 2x(2R-2x) ... ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Attention à la dérivée d'un produit :
\((u\times v)'=u'\times v+u\times v'\) avec, ici, \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=R^2-x^2\).
Je te laisse faire ces calculs.
Bon courage

[Claire (S)]

Ah oui, c'est vrai.
Du coup : f'(x) = 2x(R^2-x^2) + x^2(2R-2x) = 2xR^2 - 2x^3+ 2Rx^2 - 2x^3

Comment fait-on après ?

[sos-math(21)]

Après, il faut factoriser pour étudier le signe de la dérivée.
Bonne factorisation