Exponentielle

[Juliette]

Bonjour,

Je dois trouver les nombres a, b et c de la figure ci-contre par rapport à l'équation f(x)= (ax^2+bx+c)*e^-x
Pour moi, "c "serait égale à 1 car la courbe passe par l'origine en ce point.
Pour calculer a et b je pensait faire un système à deux équations.
Sachant que la courbe passe par le point (-1, 0) et on va dire (2, 1.25) --> pas très précis.
On va dire que a-b+1=0 et 4a+2b+1=1.25
a serait ainsi égale à -25/8 et b à -17/8 mais cela marche pas!
Mais je vois pas comment faire et en plus il faut que je tienne compte de l'exponentielle sauf que je ne vois pas comment l'intégrer?

Pour une autre question je ne comprends pas également car il demande d'étudier les position relative de la courbe C par rapport à la tangente T à B en C.
Je dois prouver que cela revient à faire (x+1)*q(x) où q(x)= (x+1)*(e^-x) -1
Mais je ne sais pas comment calculer la tangente allant d'un point à un autre. Je sais simplement en un point. En effet, il s'agit de la formule : y: f'(a)*(x-a)+f(a)

Merci de votre aide.

[sos-math(20)]

Bonjour Juliette,

Les 2 informations que vous considérez à savoir f(0) =1 et f(-1)=0 sont correctes.
Par contre vous oubliez de prendre en compte une tangente bien particulière en -1, c'est pour cela qu'il vous manque une relation pour trouver a, b et c.

Nous reviendrons plus tard sur la question portant sur la tangente, commencez par trouver les valeurs de a,b et c qui conviennent.

Bon courage

SOS-math

[Juliette]

La tangente en -1 est horizontale, elle a donc un coefficient directeur nul. On peut donc écrire f'(-1)=0.
Il faut donc que je fasse la dérivée de la fonction soit (2ax+b)*-e^-x
Ce qui va me donner (-2a+b)*-e^1=0 puisque que f'(-1)=0

Après il faut que je fasse un système à double équation avec la première équation soit:
a-b+1=0
-2a+b=0
Je trouve comme solution pour a=-1/3 et b=2/3 sauf que je n'ai pas pris en compte l'exponentielle!

Merci de votre aide

[SoS-Math(25)]

Bonjour Juliette,

Tu y es presque.

Pourquoi écris-tu "a - b + 1" ou plutôt pourquoi le "+1" ? As-tu trouvé c = 1 en utilisant f(0)=1 ?

Ensuite, dans ton système, tu n'as pas besoin d'utiliser l'exponentielle car tu obtiens :

\((-2a + b)\times (-e) = 0\) et donc \((-2a + b)= 0\) car e n'est pas nul. (Tu as utilisé f'(-1)=0)

\((a - b + 1) = 0\) .... As-tu expliqué pourquoi ?

A bientôt !

[Juliette]

En faite je mes suis trompé dans la dérivée.
On aura plutôt ae^1 + 2be^1 + -ce^1
Donc après je fait un système d'équation avec la dernière formule soit:
ae^1-be^1+1=0
ae^1+2be^1- e^1=0

C'est cela? je ne vois pas trop comment faire autrement?

[SoS-Math(25)]

Je suis perdu dans tes calculs Juliette.

On reprend :

Tu as f(0) = 1 :

Ainsi : \(f(0) = (a\times 0^2 + b\times 0 + c)\times e^{-0} = 1\)

Ou encore : \(c = 1\) ... Es-tu d'accord ?

Ensuite :

Tu as f '(-1) = 0 :

Quelle est la drivée de f ? \(f ' (x) = ....\) ?

[Juliette]

Merci je vient de comprendre comment trouver.
Au final l'équation sera (x^2+2x+1)*e^-x
ce qui convient avec la courbe donner.

Par contre, pour une autre question je ne comprends pas car il demande d'étudier les position relative de la courbe C par rapport à la tangente T à B en C.
Je dois prouver que cela revient à faire (x+1)*q(x) où q(x)= (x+1)*(e^-x) -1
Mais je ne sais pas comment calculer la tangente allant d'un point à un autre. Je sais simplement en un point. En effet, il s'agit de la formule : y: f'(a)*(x-a)+f(a)

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Juliette,

Je pense qu'il s'agit d'une erreur ... il faut peut-être lire "étudier les positions relatives de la courbe C par rapport à la tangente en B, puis par rapport à la tangente en C."

SoSMath.

[Juliette]

Je me suis tromper, en faite il disent précisément d'étudier la position relative de la courbe C et de la tangente T en B à C.
Si c'est ce que vous venez de signifier: faire d'abord avec B puis avec C on trouve que la tangente au point C serait y=0 et en B serait y=1.47 et donc la courbe C serait toujours au-dessus.
Donc cela m'avance pas trop sur ce que je dois trouver?

[SoS-Math(9)]

Juliette,

L'équation de la tangente en B n'est pas y=1.47 mais y= f'(0)*(x-0)+f(0) = ... (ici a = 0).

Ensuite pour étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente, il faut étudier le signe de la différence entre les deux équations, soit f(x) - (f'(0)*(x-0)+f(0)) pour la tangente en B.

SoSMath.

[Juliette]

D'accord je viens de comprendre,

Sachant que la tangente au point B est :(f'(0)*(x-0)+f(0)= x+1
On va faire comme vous avez dit f(x) - (f'(0)*(x-0)+f(0)
Soit (x^2+2x+1)*(e^-x)-x+1
= (x+1)^2 * (e^-x)-x+1

Je dois trouver que c'est égale à (x+1)*q(x)
soit (x+1)*(x+1)*(e^-x)-1
Donc (x+1)^2*(e^-x)-1
C’est donc pas ce que je trouve puisque moi je trouve (x+1)^2 * (e^-x)-x+1 sachant que je n'ai pas pris en compte la tangente en C sauf qu'elle est égale à 0.
C'est la que je suis bloqué

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Juliette,

il faut faire attention aux parenthèses ...

f(x) - (x+1) = (x+1)^2 * (e^-x) - (x+1) = (x+1)*(x+1) * (e^-x) - (x+1) x+1 est le facteur commun.

= (x+1) ((x+1) (e^-x) - 1)
=q(x).

SoSMath.

[Juliette]

Merci de votre aide, j'ai compris et fini.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Juliette.

SoSMath.