Etude d'une fonction exponentielle

[Solsha]

Bonsoir,

N'ayant pas confiance en moi dans l'étude de fonctions en général je viens vers vous pour m'aider à étudier la fonction suivante :

\(g(x) = e^{x}-x-1\) définie sur [0;+inf[

1. Etudier les variations de la fonction g.

g est une fonction exponentielle dérivable sur R. Or on a -x-1 dérivable sur [0;+inf[ donc la fonction g est dérivable sur [0;+inf[

Pour tout x de [0;+inf[, \(g'(x) = e^{x}-1\)

SIgne de \(e^{x}\) : strictement positif
Signe de -1 : strictement négatif.

Or la fonction est définie sur [0;+inf[ donc le signe de g'(x) est strictement positif.
La fonction g est donc strictement croissante sur [0;+inf[

2. Déterminer le signe de g(x) selon les valeurs de x.

g est strictement positive.

3. En déduire que pour tout x de [0;+inf[, \(e^{x}\)-x est strictement supérieur à 0.

C'est évident car \(e^{x}\) est strictement supérieure à 0 et dans [0;+inf[, x est strictement positif donc g est strictement positif sur [0;+inf[.

Pourriez vous me corriger, me guider pour mieux rédiger ?

Merci d'avance !

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Le but de ce forum n'est pas de corriger le travail fait par les élèves ; tu as un enseignant qui va le faire. Notre action est d'aider les élèves afin qu'ils puissent avancer dans leurs recherches.
Je ne vais donc pas reprendre ton travail ; par contre, je t'invite à le revoir. Attention, si deux nombres sont strictement positifs, leur différence ne l'est pas forcément...
7 >0 et 12>0 mais \(7-12=-5\) est négatif...

Bonne relecture.

[Solsha]

Et si on ne propose pas de réponse, on nous dit que les professeurs ne sont pas là pour faire le travail à notre place ... Je ne vous demande pas clairement de me corriger, en effet je me suis sans doute mal exprimée mais dans ce cas là ... il est tout de même indispensable d'essayer, non ? C'est ce que j'ai fait ici.

[Solsha]

Je rajouterais que lorsque l'on fait des exercices par soi-même pour s'entraîner et prendre confiance, ils ne sont pas corrigés par notre professeur qui doit déjà faire le cours en plus de gérer une classe de plus de 30 élèves et leurs difficultés respectives. D'où l'utilité de ce forum d'aider les élèves autonomes à s'améliorer, n'êtes vous pas d'accord ?

[Solsha]

Je ne vois pas mon erreur ... La fonction étant définie sur[0;+inf[ comment le signe de la fonction peut-il être négatif ? Ou bien je n'ai pas compris votre remarque ce qui est plus probable ...

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Solsha,

Le travail que tu proposes n'apporte que des réponses rapides qui peuvent être interprétées comme fausses en les regardant.

Cela manque tout simplement de détails et d'explications claires qui font penser que les notions vues sont fragiles pour toi.

Voici donc une façon de revoir ton travail :

Bonsoir,

N'ayant pas confiance en moi dans l'étude de fonctions en général je viens vers vous pour m'aider à étudier la fonction suivante :

\(g(x) = e^{x}-x-1\) définie sur [0;+inf[

1. Etudier les variations de la fonction g.

g est une fonction exponentielle dérivable sur R. Or on a -x-1 dérivable sur [0;+inf[ donc la fonction g est dérivable sur [0;+inf[

!

-x-1 est aussi dérivable sur R donc g est dérivable sur [0;+inf[ et plus encore...

Pour tout x de [0;+inf[, \(g'(x) = e^{x}-1\)

SIgne de \(e^{x}\) : strictement positif
Signe de -1 : strictement négatif.

Or la fonction est définie sur [0;+inf[ donc le signe de g'(x) est strictement positif.
La fonction g est donc strictement croissante sur [0;+inf[

Tes arguments offrent un raisonnement faux alors que ta conclusion est juste. (tu as surement compris mais tu vas trop vite)

Quel est le minimum de \(e^{x}\) sur [0;+inf[ ?

2. Déterminer le signe de g(x) selon les valeurs de x.

g est strictement positive.

Des détails ? (Tu as surement compris mais donne le minimum atteint et ajoute le fait que la fonction est croissante.)

3. En déduire que pour tout x de [0;+inf[, \(e^{x}\)-x est strictement supérieur à 0.

C'est évident car \(e^{x}\) est strictement supérieure à 0 et dans [0;+inf[, x est strictement positif donc g est strictement positif sur [0;+inf[.

Comme Sos-Math(7) te l'as dit tu vas beaucoup trop vite et ton argument est faux. La différence de nombres positifs n'est pas forcément positive. Utilise la fonction g que tu viens d'étudier.

Bon courage !

[Solsha]

Merci pour votre réponse !

Donc g est dérivable sur R.

Après, je ne comprends pas pourquoi mes arguments offrent un raisonnement faux ... ? Le signe de l'exponentielle est positif, -1 est négatif or la fonction est définie sur R+ donc on ne tient compte que du signe de l'exponentielle donc sur [0;+inf[ g est strictement croissante (et positive puisqu'on travaille sur R+).

[SoS-Math(9)]

Bonjour Solsha,

Le fait que la fonction soit positive n'indique rien sur ses variations.
C'est le signe de la dérivée qui donne les variations de la fonction.

Ici tu as x>0, donc par croissance de la fonction exp sur IR, on a : e^x > e^0 soit e^x > 1 soit e^x - 1 > 0 soit g'(x) > 0 ...

SoSMath.