Bonjour,
On considère les propositions Pn et Qn suivantes :
Pn : "3 divise 4^n-1" et Qn : "3 divise 4^n+1"
1. Démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie. n
2. De même pour Qn.
3. Vérifier que P0 est vraie.
Que peut-on en déduire ?
Je ne sais pas comment procéder avec ce genre de démonstrations, pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance !
Démontrer par récurrence 2
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Solsha
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SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Démontrer par récurrence 2
Bonjour,
Ici il faut utiliser une démonstration par récurrence.
Une difficulté est de traduire en mathématiques l'hypothèse de récurrence :
Dire qu'un nombre est multiple de 3 c'est dire qu'il peut s'écrire sous la forme \(3k\) avec k un nombre entier....
Bon courage !
Ici il faut utiliser une démonstration par récurrence.
Une difficulté est de traduire en mathématiques l'hypothèse de récurrence :
Dire qu'un nombre est multiple de 3 c'est dire qu'il peut s'écrire sous la forme \(3k\) avec k un nombre entier....
Bon courage !
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Solsha
Re: Démontrer par récurrence 2
D'accord mais comment faire pour écrire 4^n-1 sous la forme 3k ?
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SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Démontrer par récurrence 2
En effet, tu supposes que cette propriété est vraie au rang n soit :
\(4^n - 1\) est un multiple de 3.
Autrement dit :
Il existe un nombre entier \(k\) tel que \(4^n - 1 = 3k\).... Voici ton hypothèse de récurrence.
A bientôt !
\(4^n - 1\) est un multiple de 3.
Autrement dit :
Il existe un nombre entier \(k\) tel que \(4^n - 1 = 3k\).... Voici ton hypothèse de récurrence.
A bientôt !
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Solsha
Re: Démontrer par récurrence 2
D'accord, merci. En fait je ne sais pas du tout comment procéder car c'est le premier exercice de ce type que je réalise ...
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SoS-Math(7)
- Messages : 4004
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:04
Re: Démontrer par récurrence 2
Bonsoir Solsha,
Cet exercice devrait te permettre de comprendre le principe de la démonstration par récurrence.
Tu supposes que ta propriété est vraie au rang n. C'est à dire que 3 divise \(4^{n}-1\) soit encore qu'il existe un nombre \(k\) tel que \(4^{n}-1=3k\)
En partant de cette donnée, il faut démontrer que 3 divise \(4^{n+1}-1\).
Je te laisse réfléchir.
Bon courage.
Cet exercice devrait te permettre de comprendre le principe de la démonstration par récurrence.
Tu supposes que ta propriété est vraie au rang n. C'est à dire que 3 divise \(4^{n}-1\) soit encore qu'il existe un nombre \(k\) tel que \(4^{n}-1=3k\)
En partant de cette donnée, il faut démontrer que 3 divise \(4^{n+1}-1\).
Je te laisse réfléchir.
Bon courage.