Un exemple de calcul d'aire sous la courbe

[sos-math(22)]

effectivement, j'ai modifié mon précédent message contenant une faute de frappe, désolé.
maintenant, est-ce plus clair ?

[Buzzleclair]

Donc si je comprend bien :
L'aire des rectangles sous la courbe = (1/n)* e^(n-1/n)
Et L'aire des rectangles au dessus de la courbe = (1/n)*e^(n/n) ?

[sos-math(22)]

Bonjour,
Oui, c'est exact, mais pour les deux derniers, c'est à dire pour k=n-1.
Serais-tu me dire à quoi sont égales ces deux aires, pour k quelconque compris entre 0 et n-1 ?
Bon calcul.

[Buzzleclair]

Et bien ce serai:
Pour l'aire des rectangles sous la courbe : (1/n)*(1-e)/(1-e^(1/n))
Pour l'aire des rectangles au dessus de la courbe : (1/n)*e^(1/n)*(1-e)/(1-e^1/n))

[sos-math(22)]

Non, là tu n'as pas encore compris. Essaie à nouveau.
Je t'ai donné une partie de la réponse hier...
Sur ta figure, positionne les deux rectangles d'extrémités k/n et (k+1)/n.
La largeur est égale à 1/n n'est-ce-pas ?
Et les hauteurs correspondantes ???

[Buzzleclair]

Ah d'accord
Je pense du coup que ça donne :
Pour l'aire des rectangles sous la courbe : (1/n) * e^(n/n)
Pour l'aire des rectangles au dessus de la courbe : (1/n) * e^(n+1/n)

[sos-math(22)]

Tu y es presque, mais tu mélanges les rôles de k et de n.
Je voudrais éviter de te donner la réponse...
Essaie encore.
Pense que n est fixé et que k varie de 0 à n-1.

[Buzzleclair]

Il suffirait donc que je remplace n par k ?
Celà donnerai :
Pour l'aire des rectangles sous la courbe : (1/n)*e^(k/n)
Pour l'aire des rectangles au dessus de la courbe : (1/n)*e^(k+1/n)

Je ne comprend pas en quoi cela va répondre à la question 3 ?

[sos-math(22)]

Voilà, très bien, on avance...
Pour la question 3) maintenant.
Tu vas procéder en deux étapes :

1) Tout d'abord, tu considères UNIQUEMENT les rectangles situés sous la courbe, pour k variant de 0 à n-1 et tu les ajoutes tous. Ensuite, tu mets 1/n en facteur.

2) Puis, tu considères UNIQUEMENT les rectangles situés au dessus de la courbe, pour k variant de 0 à n-1 et, de même, tu les ajoutes tous et tu mets de même 1/n en facteur.

[Buzzleclair]

D'accord, est ce que j'utilise aussi le rectangle pour k=n-1 ?

[sos-math(22)]

Oui, pour k variant de 0 jusqu'à n-1 compris.

C'est à dire que k=0, puis k=1, puis k=2 et ainsi de suite jusqu'à k=n-1.

Tu vas obtenir les égalités de gauche :

pour \(R_n\) avec le 1) ; pour \(P_n\) avec le 2).

Enfin, pour les égalités de droite, il te suffira d'utiliser à chaque fois la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique de raison q:

\(1+q+q^2+....+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\)

Prends le temps de bien de réféchir.

Bonne continuation.

[Buzzleclair]

Merci beaucoup j'ai fini la question 3 et j'ai compris alors vraiment merci.
Je m'attaque à la question 4 maintenant.

[sos-math(22)]

Bon courage pour la suite et n'hésite pas à revenir vers nous en cas de besoin.
SOS Math.

[Buzzleclair]

Et bien désolé mais je reviens déjà..
Pour la 4) limRn=lim h*(1-e)/(1-e^h) = Forme Indéterminé
Jusque là c'est bon mais ensuite j'ai essayé de mettre sous facteur commun mais ça ne marche pas. Que faut il faire ?

[sos-math(22)]

Il faut que tu utilises ton cours et notamment \(lim_{0} \frac{e^h-1}{h}=1\) (taux de variation de exp en 0).
Bon courage.