Voici l'énoncé :
But de l'exercice : calculer l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation x=1 et la courbe y=e^x. On appellera D ce domaine et A son aire en unité d'aire.
- La figure donnée
On donne si dessus la représentation graphique de la fonction f(x)=e^x. On a partagé le segment [0,1] en 4 segments de longueur 0.25. Sur chacun de ces segments, on a construit le plus grand rectangle possible contenu dans le domaine D, ainsi que le plus petit rectangle possible au dessus de la courbe. Ainsi l'aire totale des rectangles sous la courbe ( que l'on appellera R) est inférieur à A qui est elle même inférieur à l'aire totale des rectangles au dessus de la courbe (que l'on appellera P )
1) Calculer R et P
2) Donner un encadrement de A à 0.001 près.
Partie B :
On imagine que l'on partage le segment [0;1] en n segments de longueur 1/n.
1) Vérifiez que l'aire du 1er rectangle sous la courbe est égale à 1/n * e^0 et que l'aire du 1er rectangle au dessus de la courbe est égale à 1/n * e^1/n.
2) Vérifiez que l'aire du 2ème rectangle sous la courbe est égale à 1/n * e^1/n et que l'aire du 2ème rectangle au dessus de la courbe est égale à 1/n * e^2/n.
3) Montrez alors que la somme des aires des rectangles sous la courbe Rn et que celle des rectangles au dessus de la courbe est Pn :
5) Démontrer à l'aide de votre cours que lim ( h tend vers 0) (e^h -1)/h = 1
6) En déduire les limites de Rn et Pn, puis la valeur exacte de A.
7) Indiquer alors en justifiant la valeur exacte de l'intégrabe b a e^xdx
J'ai fait la partie A. J'ai besoin d'aide pour la partie B.
J'ai commencé à traîter la question 1 :
1) Aire 1er rectangle sous la courbe = L *l l= longueur et L= Largeur
= 1/n * 1
= 1/n * e^0
Aire 1er rectangle au dessus de la courbe = 0.25 * e^0.25
Ici la figure est découpé en n segments de longueur 1/ n d'où : 1/n * e^1/n
Est ce juste ? J'ai tenté de faire les autres questions mais je ne sais réellement pas par où commencé.
Je vous remercie de votre aide.