équivalents

[Hélène]

Bonjour

J'ai une question concernant les équivalents dans le chapitre des développements limités pour calculer un équivalent une méthode consiste à passer par les développements limités et ne laisser que le terme dominant; dans les nombreux exemples que j'ai vu, tous les termes s'annulent sauf un seul qui est à la même puissance que l'ordre, par exemple:

x(2−cos x)−arctanx = x(2-1+x²+o(x²))-(x-x^3/3+o(x^3))=5x^3/6+o(x^3)~5x^3/6
Donc on remarque que tous les termes s'annulent sauf 5x^3/6 qui est à la même puissance que l'ordre o(x^3)
Et donc ma question c'est: est-ce que c'est du hasard ou c'est le principe de la méthode ? est-ce qu'on doit à chaque fois chercher à annuler tous les termes sauf un (qui la même puissance que l'ordre) ?


Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
au voisinage de 0, toutes les puissances de \(x\) supérieures à une puissance donnée sont négligeables devant cette puissance donc on peut les "rentrer" dans un o(...) :
par exemple, si tu calcules des développements limités et que tu obtiens \(4x^2+5x^3-8x^4+6x^5+o(x^3)\), alors les deux derniers termes "rentrent" dans le \(o(x^3)\) car ils sont négligeables devant \(x^3\) : il restera alors \(4x^2+5x^3+o(x^3)\).
Donc ce n'est pas du hasard, c'est lié à la construction des développements limités.
Bonne continuation

[Hélène]

Ok merci pour vos explications

Les développements limités permettent de calculer la tangente à une courbe mais aussi une l'asymptote à une courbe, dans mon cours, la méthode présentée est identiques, et donc je voulais savoir quel est le lien entre tangente et asymptote ?


Merci à vous

[sos-math(21)]

C'est une histoire de voisinage : la fonction est très proche de sa tangente au voisinage de tout point où elle est dérivable : \(f(x)=f(a)+f'(a)\times(x-a)+o(x-a)\) au voisinage de \(a\).
Pour une asymptote c'est un peu pareil : la courbe et l'asymptote se rapprochent l'une de l'autre vers \(\infty\) il faut raisonner avec \(\frac{1}{x}\) : s'il existe un entier \(p\) et des réels \(a_0,\,a_1,\, a_{p+1}(\neq 0)\) tels que : \(f(x)=a_0x+a_1+\frac{a_{p+1}}{x^p}+o\left(\frac{1}{x^p}\right)\) au voisinage de l'infini, alors la droite d'équation \(y=a_0x+a_1\) est asymptote à la courbe au voisinage de l'infini.
Pour conclure, admettre un développement limité pour une fonction, cela signifie que la courbe de cette fonction "ressemble" à une droite dans un certain voisinage réel ou infini, avec une certaine précision.
Bonne continuation

[Hélène]

Merci pour votre réponse

Pourquoi faut-il raisonner avec 1/x ? pourquoi pas avec x ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Comme je te l'ai déjà dit, il faut qu'il y ait des éléments négligeables donc qui tendent vers 0, il faut donc du \(\frac{1}{x}\) pour que cela tende vers 0 lorsque \(x\to\pm \infty\).
Bon calcul

[Hélène]

D'accord
Et pourquoi nous avons ln(1+o(1))=o(1) ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Hélène,

On sait que \(\lim_{x \to a}f(x)=0\) <=> f(x)= o(1) lorsque x tend vers a.

Donc si on prend une fonction f telle que \(\lim_{x \to a}f(x)=0\) alors par composition ln(1+f(x)) = f(x) + o(f(x)).
Or on a f(x)= o(1), donc ln(1+o(1)) = o(1) + o(o(1)) = o(1).

SoSMath.

[Hélène]

Bonjour

J'ai une autre question


Est-ce qu'on peut écrire 1/(n+1)²~1/n² qd n tend vers +oo ? Si oui ? quel est la preuve ?

Et enfin dans mon cours il y a écris qu'on ne peut pas sommer des équivalents mais est-ce qu'on peut additionne un équivalent avec un réel ? Par exemple est-ce qu'on peut écrire ln(1+x)+7~x+7 ??? quand x tend vers 0 ?


Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour vérifier qu'une expression A(x) est équivalente à une autre expression B(x) en une valeur \(x_0\), il suffit de vérifier que la limite de leur quotient est égale à 1 quand \(x\to x_0\) :
\(\lim_{x\to x_0}\frac{A(x)}{B(x)}=1\).
Je te laisse vérifier cela sur les deux exemples qui te posent problème.
A moi de te poser une question : les équivalents sont-ils d'un niveau terminale ?
Bonne continuation