fonction avec deux inconnues

[elodie]

Bonjour,
Dans un exercice j'ai:
n désigne un entier non nul. fn est la fonction définie sur [o;+∞[ par: fn(x)= [(x-n)/(x+n) ]- e^(-x)
et la premiere question est : Dresser le tableu de variation de fn

Pour répondre a la question, j'ai d'abord essayé de faire avec la dérivée mais je me suis retrouvée avec une dérivée dont je ne pouvais connaitre le signe sans connaitre n, en effet j'obtiens [2n/(x+n)²]+(1/e^x)

J'ai également tenté de transformer l'expression de fn mais j'ai alors obtenu [(x-n)/(x+n)] - (1/e^x) ce qui ne me permet pas non plus d'obtenir un tableu de signe sans connaitre n.

J'espere que vous pourrez m'aider, merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonjour,
la démarche de dériver est la bonne : si tu obtiens ta dérivée \(f'_n(x)=\frac{2n}{(x+n)^2}+e^{-x}\) :
On peut connaitre le signe de cette dérivée : 2n est positif, \((x+n)^2\) aussi et \(e^{-x}\) aussi donc ...
Bonne conclusion

[elodie]

Je n'avais pas vu que j'avais la réponse sous les yeux !
Merci & Bonnes fetes !

[elodie]

Je suis désolée de vous redemander encore une fois de l'aide
mais apres avoir réussi a repondre au reste de l'exercice je bloque cette fois ci sur la question :
Démontrer que pour tout n de N, e^(n+1) > 2n+1

J'ai donc utilisé la récurrence et je pense avoir compris qu'il fallait réusir a modifier cette inégalité de sorte a obtenir quelque chose de semblable à [(x-n)/(x+n)] - e^(-x) afin de pouvoir se servir des questions précedentes seulement je n'y arrive pas. A chaque fois que je tente quelque chose ça ne marche pas et je tourne en rond ...

j'espere que vous pourrez de nouveau m'aider

[SoS-Math(9)]

Bonjour Elodie,

Tu peux étudier (les variations de) la fonction h(x) = e^(x+1) - (2x+1) et démontrer que pour tout x de IR, h(x) > 0.

SoSMath.

[elodie]

Grace a votre aide j'ai réussi a repondre a la question et j'ai aussi repondu a deux autres qui étaient:
"Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution" par contre je dois aussi démontrer que cette solution se trouve dans l'intervalle [n;n+1] et ça je ne sais pas comment m'y prendre...
On nous dit ensuite qu'on note cette solution Un et nous devons alors calculer deux limites, celle de Un pour n tend vers +∞, ce que j'ai réussi à faire mais également celle de Un/n pour n tend vers +∞ ou là je pense que c'est soit 0 soit +∞ mais je ne sais encore pas comment m'y prendre pour calculer cette limite ...

[SoS-Math(25)]

Bonjour Élodie,

Je crois que tu as déjà le sens de variation des fonctions fn et aussi que fn(n)<0.... Es-tu d'accord ?

As-tu regardé le signe de fn(n+1) ?

Bon courage !

[elodie]

J'ai compris et essayer, ça a marché, merci beaucoup !