intégrale

[Pauline]

Bonsoir

Dans la correction d'un exercice où on cherche à primitiver la fonction f(x)=exp(-t²) (on ne peut pas calculer cette primitive, donc la réponse est sous forme d'intégrale);
il y a écrit : intégrale de 0 à t de exp(-u²) du
Je ne comprends pas le choix des bornes ? Pourquoi de 0 à t sachant que la fonction exponentielle ne s'annule jamais ?

Merci d'avance

[SoS-Math(25)]

Bonjour Pauline,

Une fonction peut admettre une infinité de primitives. Par exemple, si tu dérives les fonctions \(f(x) = x^2\) , \(g(x) = x^2 + 1\) , \(h(x) = x^2 - 3\) tu trouves \(2x\) à chaque fois.

Donc 2x admet une infinité de primitives mais une seule d'entre elles s'annule en 0.

Donc ici, on cherche une primitive de \(f(t) = e^{-t^2}\) qui s'annule en 0. (En effet, \(\int_{0}^{0} e^{-u^2} du = 0\).)

J'espère avoir répondu à ta question.

A bientôt !

[Pauline]

Donc ici, on cherche une primitive de \(f(t) = e^{-t^2}\) qui s'annule en 0.

Je ne comprends pas pourquoi le fait d'écrire \(f(t) = e^{-t^2}\) signifie qu'on chercher obligatoirement une primitive qui s'annule en 0 ? Pourquoi est-ce en 0 et pas un autre réel ?

[Pauline]

Voilà mon raisonnement;
Pouvez-vous me dire s'il est correct svp ?

J'ai posé que f(t)=\(e^{-t^2}\) et F'(t)=f(t) donc F est une intégrale de f.

On a donc \(\int_{0}^{t} e^{-u^2} du\)=F(t)-F(0)

Puis j'ai dérivé [\(\int_{0}^{t} e^{-u^2} du\)]'=[F(t)-F(0)]'=f(t)=\(e^{-t^2}\) car F(0) est un réel est donc sa dérivée est nulle.

Ceci prouve que \(\int_{0}^{t} e^{-u^2} du\) est bien la primitive de \(e^{-t^2}\)

[SoS-Math(25)]

C'est exact.

Maintenant, pourquoi a-t-on intégré de 0 à t ?

En effet, chercher une primitive ne veut pas dire que l'on cherche celle qui s'annule en 0. On essaye, si cela répond à la question, de prendre la forme la plus simple possible. Par exemple, pour une primitive de \(f(x)=2x\) on préfère donner \(F(x) = x^2\) plutôt que \(F(x) = x^2 + 7,4\)...

Cela dépend de la primitive recherchée. Tu peux recommencer ton raisonnement en intégrant de 1 à t, cela fonctionne aussi. Simplement, tu trouveras une primitive qui s'annule en 1 et non en 0.

A bientôt !

[Pauline]

Donc pour la correction de mon exercice, étant donné que rien n'est précisé concernant la primitive (on ne sait pas en quoi la primitive s'annule), on aurait pu écrire \(\int_{1}^{t} e^{-u^2} du\) ou encore \(\int_{5}^{t} e^{-u^2} du\) à la place de \(\int_{0}^{t} e^{-u^2} du\) ?

[SoS-Math(25)]

Tout à fait !

En fait, on choisi la forme qui nous arrange... Peut-être que la suite de l'exercice favorise l'utilisation de celle qui s'annule en 0...

A bientôt !