équations

[Mathilde]

Bonjour

Il y a quelque chose que je ne comprends pas concernant la méthode de la variation de la constante.
Soit (H) : y'+ay=b
et (H1) : y'+ay=0
Supposons avoir trouvé une solution f de (H1).
La méthode de la variation de la constante dit qu'il faut donc effectuer le changement de variable y=z(t)f pour trouver une solution particulière de (H).

Je ne comprends pas ce changement de variable. Je ne comprends pas en quoi c'est licite de faire ce changement ? Pourquoi en faisant ce changement de variable on ne modifie pas l'équation de départ ?

Merci de bien vouloir m'expliquer

[SoS-Math(25)]

Bonjour Mathilde,

Une utilise ici une description particulière des fonctions sous la forme de produits. Une fonction k peut s'écrire sous la forme k(t) = g(t)h(t). Ce changement de variable est légal sous conditions de dérivabilité des fonctions et sur des domaines de définitions cohérents. (\(x = x^2 \times \dfrac{1}{x}\) sur ]0; +00[ avec des prolongements possibles...)

As-tu remplacé y par zf dans (H) pour observer une nouvelle équation différentielle plus simple ?

En espérant t'avoir aidé,

Bon courage !

[Mathilde]

Toute fonction peut s'écrire sous la forme de produit de deux fonctions ?

[SoS-Math(25)]

Oui, au pire de façon triviale : \(f(t) = f(t)\times 1\).

Remplace y(t) par z(t) f(t) dans (H) pour bien te rendre compte de l'utilité de ce changement de variable. (f est une solution particulière de (H1))

A bientôt !

[Mathilde]

Je viens effectuer le changement dans l'équation, je remarque de z disparaît, il ne reste plus que z'.
Donc si j'ai bien compris l'intérêt de ce changement de variable est d’éliminer z pour se retrouver avec que du z' qu'il est facile d'intégrer ?

Pour un ordre plus élevé la méthode reste la même ?

[SoS-Math(25)]

C'est cela, il doit te rester une équation du style z'f = b... puis, sous condition que f ne s'annule pas, z'=b/f. Effectivement, il suffit ensuite d'intégrer.

Pour savoir si cette méthode fonctionne avec des équations de degré 2, tu peux essayer ... ? (Tu dois pouvoir tomber sur une équation plus simple à résoudre.)

A bientôt !