développement limité

[Hélène]

Bonsoir

J'aimerais avoir votre aide svp pour des questions qui sont hors du programme de terminale, j'espère que vous allez pouvoir m'aider

C'est concernant les développement limités;

- Je ne comprends pas la différence entre la composition à "droite" et à "gauche" (qui est interdite), qu'est-ce que ça dire "à gauche" et qu'est-ce que ça veut dire "à droite" ?
Voilà les exemples de mon cours
On a racine(x)=o(x) quand x tend vers +oo alors racine(ln(x))=o(ln(x)) quand x tend vers +oo (après composition à droite)
ln(x)=o(x) quand x tend vers +oo mais 1/ln(x) différent de o(1/x) quand x tend vers +oo (après composition à gauche)
Je ne vois pas ce qui change qu'on soit à droite ou à gauche, pour moi c'est seulement un changement de variable, je ne vois ce que désignent les mots "à droite" et "à gauche" ?


- Je n'arrive pas à cerner le lien entre la continuité et les développement limité, je ne comprends ce que signifie cette égalité f(x)=f(a)+o(1) ??


- Pourquoi o(x²/2+o(x^3))=o(x²) ?



Merci de m'aider

[sos-math(27)]

Bonjour Hélène,
Avant tout, je ne suis pas vraiment spécialiste de l'enseignement de ces notions (ou alors de manière simplifiée en BTS).
Je vais tâcher de répondre, mais peut être pas complètement, je vous prie de m'en excuser pas avance.

Pour la composition, c'est une opération non commutative, c'est à dire que f et g étant deux fonctions : f o g et g o f sont différentes en général. Le terme à droite ou à gauche désigne alors la position de f dans l'opération de composition :
par exemple : ln(f) c'est composer "à gauche" f par la fonction ln

Pour ce qui est des d.l., qui est une propriété "locale", il faut faire alors très attention aux limites, qui peuvent être justement sensibles selon que l'on se situe "à droite" ou "à gauche", et qui vont alors avoir une influence sur ces d.l.

Je vous donne le lien vers une courte page wikipédia sur les équivalents de fonctions : http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9ra ... quivalents qui explique un peu

Lien entre continuité et d.l
Si f est continue en un point a, son d.l à l'ordre 0 (ce que signifie o(1)) sera égal à f(a), d'où l'égalité donnée

Pourquoi o(x²/2+o(x^3))=o(x²) ?
C'est parce que o(x^3) sera négligé devant o(x^2), si on souhaite obtenir un d.l. d'ordre 2. C'est en fait un abus de language, qui sera acceptable pour l'usage qu'on aura du développement limité.

Voilà, j'espère avoir été claire, à bientôt

[Hélène]

Bonsoir

Non c'est parfait merci

Je ne comprends pas pourquoi on a cette égalité -x²/2+x^4/24+o(x^5)=O(x²) ? Je ne comprends pas en quoi cette fonction est bornée et donc je ne comprends pas la présence de O ?

Dans mon cours il y a écrit "Toute fonction est équivalente au terme dominant de son DL", qu'est-ce qu'un terme dominant ?


Merci à vous

[sos-math(27)]

Bonsoir,
Tout d'abord, le terme dominant : par exemple, si le d.l à l'ordre de f en 0 s'écrit :
\(f(x) = a_0+a_1x+a_2 x^2 + o(x^2)\) alors le terme dominant est \(a_0+a_1x+a_2 x^2\), le \(o(x^2)\), c'est le reste, qui tend vers 0 quand x tend vers 0.

Pour le début de votre question, on retrouve la notation O, qui a une autre signification que le petit o : j'ai recherché, et j'avoue que je ne comprends pas non plus, car il faudrait que ( -x²/2+x^4/24+o(x^5)) / (x^2) soit borné à l'infini, et ce n'est pas le cas...
J'avoue ne pas pouvoir vous expliquer cet exemple...

A plus tard

[Hélène]

Merci

Je dois calculer le développement limité de f(x)=(x+1)(x+2)(x+3) d'ordre 2 en -1
Pourquoi suis-je obligée de faire un changement de variable (de poser h=x+1), pourquoi je n'ai pas le droit de développer directement et d'écrire f(x)=6x²+11x+6+o(x) ?


Merci à vous

[sos-math(21)]

Bonjour,
la notion de \(o(x)\) a du sens au voisinage de 0, c'est pour cela que la notion de développement limité se fait toujours avec une variable qui est voisine de 0.
Ainsi, le changement de variable \(h=x+1\) permet de se situer avec \(h\) proche de \(0\) et de pouvoir définir des termes négligeables devant \(h\) ou \(h^2\), c'est-à-dire des \(o(h),\, o(h^2)\).
Bon courage

[Hélène]

Je dois calculer le DL d'ordre 2 au voisinage de 1 de ln (1+x^2) est ce que je peux effectuer le changement de variable t=x^2-1 ou je dois obligatoirement poser t=x-1 ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Hélène,

Ici il s'agit de composer tes développements ...
Tu as ln(1+u) = u - u²/2 + o(u²) avec limite de u(x) = 0 quand x tend vers 0.

Donc tu as u(x) = x² et limite de u(x) = 0 quand x tend vers 0.
Donc tu as ln(1+x²) = ....
je te laisse terminer.

SoSMath.