Limite grâce au taux d'acroissement

[Laura]

Bonjour !

Je suis en terminale S et j'ai un DS de maths lundi sur la continuité/dérivé/limites.
Il y a une notion du cours que je ne comprend vraiment pas. C'est lorsqu'il s'agit de calculer la limite d'une fonction (de forme indéterminée 0/0) grâce au taux d’accroissement tout en changeant la variable.

Nous avons fait un seul exemple dans le cours et j'ai beau essayer de le refaire et encore le refaire je trouve pas de raisonnement logique.
Je vous poste ici l'exemple :

'' Chercher la limite de f(x)= [racine(x+3)-2]/(x-1)lorsque x tend vers 1.
Forme indéterminée du type 0/0.
On effectue un changement de variable : On pose h=x-1 et on a donc x=h+1.
f(x) devient : [racine(h+4)-2]/h =tg(h) <-- On reconnait le taux d’accroissement de la fonction.
On a : g(x)=racine(x) avec a=4.
g(4+h)=racine(4+h) et g(4)=racine(4)=2.
Or g'(x)= 1/2racine(x) d'ou g(4)=1/4
La limite de f(x) lorsque x tend vers 1 est donc égale a 1/4''.

Voila c'est exactement ce qu'il y a écrit dans mon cours.
J'ai écrie en gras le moment ou je bloque. Au début je comprend pourquoi la variable est change comme ceci : On veut h au dénominateur pour reconnaître le taux d’accroissement. Mais je comprend pas pourquoi on pose une fonction g(x) et pourquoi elle devient racine(x). On oublie le -2 et le dénominateur ??

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Laura,

Il y a une erreur dans cette correction :
Ce n'est pas g(4)=1/4 mais g'(4)=1/4.

On définit la fonction \(g (x)=\sqrt{x}\) pour retrouver la definition du nombre dérivé :

\(g'(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{g(h+x) - g(x)}{h}\)

pour x = 4.

J'espère que cela peut t'aider.

A bientôt !

[Laura]

Non je ne comprend toujours pas ...
Pouvez vous me donner un autre exemple ? est ce possible que g(x) ne soit pas racine'x) mais x^2 par exemple ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Laura,

si g(x)=x^2, alors g'(x)=2x

On aura alors la limite suivante : \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{g(h+4) - g(4)}{h}=g'(4)\)

soit \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(h+4)^2 - 16}{h}=8\).

SoSMath.

[Laura]

Je suis désolée mais c'est pas du tout clair pour moi. Merci de m'aider tout de même.
Est ce possible de me donner une méthode ou une démarche pour résoudre ce type de question ? Par exemple en 1) faire ceci, après faire cela ...

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Laura,

La méthode, c'est l'observation et la reconnaissance de la formule \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{g(h+a) - g(a)}{h}\) qui pour résultat g'(a) si g est dérivable en a.
On utilise aussi l'expression suivante : \(\lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x-a}\).

Exemple : calculer \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).

Ici on reconnait g(x)=e^x. On vérifie que g(0) = 1, on a alors \(\frac{e^x - 1}{x}=\frac{g(x) - g(0)}{x-0}\).

Comme g est dérivable sur IR, donc en 0, alors on a : \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}=g^'(0)=1\).

SoSMath.

[Laura]

Je comprend lorsqu'il faut utiliser l'expression avec x-a au dénominateur. Mais on changait la variable lorsque l'on savait pas encore dérivée les fonction du type racine(u) et plus racine(x). Mais notre prof veut qu'on sache faire els deux méthodes ... J'ai l'impression de commencer à comprendre mais voila un exercice qui me pose problème :

Limite en 3 de (x-3)/racine(x^2+7) -4 C'est le taux d'accroissement a l'envers donc au brouiller pour pas M'embrouiller j'inverse les deux et je ré inverserai au résultats :P

Je change la variable, x devient h+3
Sauf que j'obtient : racine (((h+3)^2+ 7) -4) / h

Donc la g(x) est égale a quoi ? car on a plus une formule toute simple du type du style racine(x).

je l'ai fait sans changer la variable je trouve 4/3. :)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Laura,

On trouve bien 4/3 pour la limite !

Avec ton changement de variable, cela ne change rien ...

Tu as \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{g(h+a) - g(a)}{h}\) avec \(g(x) =\sqrt{x^2+7}\) soit \(g(h+3) =\sqrt{(h+3)^2+7}\).

SoSMath.

[Laura]

Donc dans ce cas inutile de changer la variable ?
Sinon je crois avoir compris :)
Pouvez vous me donner deux autres fonctions pour que je puisse m'entrainer a trouver leur limite sil vous plait ?
Par contre je n'ai pas encore fait avec les ''e^x'' ou ''In'', donc des fonction simple est le mieux:p

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux t'essayer à calculer \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\).
Bon calcul.

[Laura]

Ca c'est une formule et ca fait 1 non ?

Pouvez vous pas plutôt me donner une fonction comme les précédentes avec des racines, des x mais pas des fonctions particulière comme celle ci ...

[sos-math(21)]

Tu me demandes une limite qui se détermine avec un taux d'accroissement, je t'en donne une....
Sinon, détermine \(\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}\).
Bon calcul

[Laura]

On a g(x)=racione(x)
a=3
g'(a) = racine(3).
Donc al limite c'est racine(3) ? :)

[sos-math(21)]

Je te rappelle que \(x\mapsto \sqrt{x}\) se dérive en \(x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Reprends donc cela.

[Laura]

Ah oui, j'ai oublié de dérivé g(x)
Donc g'x)= x/2racine(x)
g'(3)=x/2racine(3)