Somme des n premiers entiers

[Anne-Sophie]

Bonjour !

J'ai un exercice à faire qui me pose problème.
Voici l'intitulé :

On pose S = 1 + 2+ 3 + ... + n
Le but est de trouver une formule pour calculer la somme S en utilisant la méthode de Pascal, qui partait que l'égalité : (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1
Pascal prenait toutes les valeurs comprises entre 1 et n, ce qui donnait :
k = 1 --> 2^2 = 1^2 + 2 x 1 +1
k = 2 --> 3^2 = 2^2 + 2 x 2 + 1
...
k = n --> (n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1

Ensuite, il ajoutait membre à membre les égalités obtenues, en voyant que l'on peut simplifier certains termes entre 2 lignes successives :
2^2 = 1^2 + 2 x 1 +1
3^2 = 2^2 + 2 x 2 + 1
...
(n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1

On obtient finalement : (n + 1)^2 = 1^2 + 2 x S + n

1) Je dois recopier les égalités en bleu en barrant les termes qui n'annulent.
Mais le problème, c'est que je ne vois pas quoi enlever sachant que je suis sensée :
2) obtenir une égalité
3) que je dois ensuite transformer pour obtenir l'égalité en rouge

Enfin, en déduite la formule S = n(n + 1)/2

Pouvez-vous m'aider afin que je comprenne mieux ce que je dois faire ? Parce que je suis complètement perdue.

Merci pour vos futures réponses !

Anne-S.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anne-Sophie,

Les termes qui s'annulent sont les termes égaux dans chacun des membres de l'égalité (a + b = a + c donne b=c et où a sont les termes égaux).

Par exemple pour n = 4 :
k = 1 --> 2^2 = 1^2 + 2 x 1 + 1
k = 2 --> 3^2 = 2^2 + 2 x 2 + 1
k = 3 --> 4^2 = 3^2 + 2 x 3 + 1
k = 4 --> 5^2 = 4^2 + 2 x 4 + 1

On additionne les 4 égalités membre à membre :
2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2 x 1 + 1+ 2 x 2 + 1 + 2 x 3 + 1 + 2 x 4 + 1
(les termes égaux sont en rouges). Il reste alors :
5^2 = 2x(1+2+3+4) + 1+1+1+1
soit 5^2 = 2x(1+2+3+4) + 1x4
soit 5^2 = 2x(1+2+3+4) + 4

A toi de généraliser pour n.

SoSMath.

[Anne-Sophie]

On obtient : (n + 1)^2 = 2 x S + n
Est-ce correct ?

Mais qu'est-ce que je dois simplifier dans :

2^2 = 1^2 + 2 x 1 +1
3^2 = 2^2 + 2 x 2 + 1
...
(n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1

[SoS-Math(9)]

Anne-Sophie,

Je ne vois pas ce que tu as fait pour trouver (n + 1)^2 = 2 x S + n.
Où est passé 1^2 ?

Dans ta somme il faut simplifier tous les termes égaux, c'est-à-dire les termes qui apparaissent à droite et à gauche du signe égal.

2^2 = 1^2 + 2 x 1 +1
3^2 = 2^2 + 2 x 2 + 1
...
n^2 = (n-1)^2 + 2 x (n-1) + 1
(n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1

Pour mieux comprendre, prend n=5, puis n=6, ...
(Regarde mon exemple pour n=4).

SoSMath.

[Anne-Sophie]

D'accord !
Donc, finalement, on trouve à la fin (n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1
Mais comment fait-on pour obtenir ainsi (n + 1)^2 = 1^2 + 2 x S + n ?
À quoi correspond le S ?

Pouvez-vous me donner le raisonnement pour trouver (n + 1)^2 = 1^2 + 2 x S + n ?

[SoS-Math(9)]

Anne-Sophie,

As-tu lu ton énoncé ? S = 1+2+3+ ... +n.

Pour trouver (n + 1)^2 = 1^2 + 2 x S + n, tu additionnes les n égalités suivantes :
2^2 = 1^2 + 2 x 1 +1
3^2 = 2^2 + 2 x 2 + 1
...
n^2 = (n-1)^2 + 2 x (n-1) + 1
(n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1

et après simplification tu trouves (n + 1)^2 = 1^2 + 2 x S + n.

SoSMath.

[Anne-Sophie]

Pourriez-vous faire le calcul pour passer de (n + 1)^2 = n^2 + 2 x n + 1 à (n + 1)^2 = 1^2 + 2 x S + n ?
J'avoue que j'ai un peu du mal à comprendre...!

[sos-math(21)]

Bonjour,
Si on reprend les égalités proposées par mon collègue :
\(\begin{array}{rcl}2^2& = &1^2 + 2 \times1 +1\\ 3^2& = &2^2 + 2 \times 2 + 1\\ ...&&_\\ n^2& =& (n-1)^2 + 2 \times (n-1) + 1\\ (n + 1)^2 &= &n^2 + 2 \times n + 1\end{array}\)
Si tu additionnes toutes ces égalités, il y aura des termes égaux de chaque côté qui vont se simplifier :
tous les carrés sauf le premier \(1^2\) et le dernier \((n+1)^2\)
puis tu auras des termes en \(2\times\) .... que tu pourras factoriser ;
il te restera \(n\) termes tous égaux à 1, ce qui fera \(n\times 1=n\)
\(\begin{array}{lrcl}&\cancel{2^2}& = &1^2 + 2 \times1 +1\\ +&\cancel{3^2}& = &\cancel{2^2}+ 2 \times 2 + 1\\ +&...&&_\\ +&\cancel{n^2}& =& \cancel{(n-1)^2} + 2 \times (n-1) + 1\\ +&(n + 1)^2 &= &\cancel{n^2} + 2 \times n + 1\\\hline &(n+1)^2&=&1+2\times\underbrace{\left(1+2+3+\ldots+n\right)}_{S}+\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{n\,\mbox{termes}}\\ &(n+1)^2&=&1+2\times S+n\end{array}\)

[Anne-Sophie]

D'accord ! Merci beaucoup, je comprends mieux maintenant.

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite,
à bientôt sur sos-math