Sens de variation de fonctions

[Laura]

Bonjour,

Soit f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = 1/x + Vx

1) Montrer que la fonction u définie sur ]0 ; +∞ [ par u(x) = − Vx est strictement
décroissante sur ]0 ; +∞ [ .
2) En déduire le sens de variation de f.
3) Étudier le signe de f(x) selon les valeurs de x.


1) La fonction u est l'opposé de la fonction racine (de référence).
Or, la fonction racine est strictement croissante sur [0 ; + ∞ [.
En effet, si l'on prend deux nombres réels positifs a et b tel que a < b, on aura Va < Vb soit f(a) < f(b).
Cela montre que la fonction racine est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ d'une part, et sur ] 0 ; + ∞ [ d'autre part.
Comme la fonction u est l'opposé de cette fonction, on change le signe de variation sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ pour obtenir celui de u sur le même intervalle.

On en déduit que u est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

2) La fonction f est la somme de la fonction inverse et de la fonction u.
La fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.
Prenons deux réels positifs a et b tel que a < b, on aura 1/a < 1/b soit f(a) < f(b).
Cela montre que la fonction inverse est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.

La somme de cette fonction et de la fonction u sera donc strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

3) On a f(1) = 1/1 - V1 = 0.
Donc, si x > 1, f(x) > f(1) soit f(x) > 0. La fonction f est donc positive pour x > 1.
Si x < 1, f(x) < f(1) soit f(x) < 0. La fonction f est donc négative pour x < 1.


Est-ce juste ?


Bonne journée,
L.P.

[sos-math(20)]

Bonsoir Laura,

Je pense que tu as fait une faute en recopiant la fonction et qu'il s'agit de \(f(x)=\frac{1}{x}-\sqrt {x}\).

A part cela :

1) OK
2) Reprends les inégalités pour la fonction inverse avec a et b : il y a une erreur; revois le sens de variation de la fonction inverse (par exemple trace cette fonction à l'écran de ta calculatrice)
3) Ta réponse est incorrecte : peut-être pourrais-tu construire le tableau de variation de la fonction f ?

A bientôt sur SOS-math

[Laura]

Bonjour,

Oui, je me suis effectivement trompée en recopiant la fonction. Il s'agit bien que f(x)=\frac{1}{x}-\sqrt {x}.

2) La fonction f est la somme de la fonction inverse et de la fonction u.
Ces deux fonctions sont strictement décroissantes sur ] 0 ; + ∞ [.
Or, d'après la propriété, si deux fonctions sont (strictement) décroissantes sur un intervalle I, leur somme est également (strictement) décroissante dans ce même intervalle.
On en déduit que f est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

3) On a f(1) = \(\frac{1}{1}\) - \(\sqrt{1}\) = 1 - 1 = 0.
La fonction f étant strictement décroissante sur I, pour tout x de I, si x < 1, alors f(x) > f(1) soit f(x) > 0.
Si x > 1, alors f(x) < f(1) soit f(x) < 0.

Voici le tableau de variation de la fonction f (fichier joint) :


Bonne journée,
L.P.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Laura,

C'est bon pour la question 2) (Peut-être peux-tu démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ]0;+00[ ... ?

Pour la question 3 ta réponse est juste mais ton tableau de variation est faux. Tu as démontré que la fonction f était décroissante.... Ton tableau doit donc montrer la même chose.

A bientôt !

[Laura]

Bonjour,


Oui, pour la question 3, j'ai fait un tableau de variation sur IR au lieu de le faire sur I.

Démonstration de la décroissante de la fonction inverse sur I

Soient a et b deux réels positifs tel que a < b.
On a : a < b
Comme a et b sont de même signe, cela équivaut à : 1/a > 1/b
On a donc : g(a) > g(b) et a < b.

Cela prouve que la fonction inverse est décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

Tableau de variation question 3