Bonsoir
J'ai quelques questions qui sont hors du programme de terminale. Merci de vouloir m'aider.
Mon professeur a défini la continuité en un point et la limite en un point par la MÊME définition (celle avec les quantificateurs); donc j'aimerais connaître le véritable lien entre la continuité et les limites ? Pourquoi ces définitions sont identiques ?
Puis pr un voisinage, doit-il être nécessairement centré en a; par exemple l'intervalle ] a; a+delta [ est-ce un voisinage de a ? Le a doit-il être obligatoirement ds l'intervalle ?
Est ce que le fait que l'intervalle d'arrivée est égale à l'image de la fonction est une condition nécessaire pr avoir une bijection ?
Merci à vous
questions
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: questions
Bonjour,
Le fait que les définitions de limite et de continuité soient très proches est normal : la continuité est un cas particulier de limite, si la limite en \(a\in\mathbb{R}\) existe et qu'elle est égale à f(a), alors la fonction est continue en a : c'est un cas particulier où la fonction tend vers son image.
Un voisinage n'est pas nécessairement centré en a et il ne contient pas forcément le nombre a : par exemple pour étudier les limites à gauche et à droite.
Donc un intervalle de la forme \(]a\,;\,a+\eta[\) est bien un voisinage de a.
Pour ta dernière question, j'aimerais quelques précisions : je ne comprends pas trop ta demande.
Bon courage
Le fait que les définitions de limite et de continuité soient très proches est normal : la continuité est un cas particulier de limite, si la limite en \(a\in\mathbb{R}\) existe et qu'elle est égale à f(a), alors la fonction est continue en a : c'est un cas particulier où la fonction tend vers son image.
Un voisinage n'est pas nécessairement centré en a et il ne contient pas forcément le nombre a : par exemple pour étudier les limites à gauche et à droite.
Donc un intervalle de la forme \(]a\,;\,a+\eta[\) est bien un voisinage de a.
Pour ta dernière question, j'aimerais quelques précisions : je ne comprends pas trop ta demande.
Bon courage
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Benjamin
Re: questions
Merci infiniment pr ces réponses.
Juste une dernière question un point d'accumulation est un cas particulier du point adhérent à un ensemble ?
Juste une dernière question un point d'accumulation est un cas particulier du point adhérent à un ensemble ?
-
Benjamin
Re: questions
Merci infiniment pr ces réponses.
Juste une dernière question un point d'accumulation est un cas particulier du point adhérent à un ensemble ?
Juste une dernière question un point d'accumulation est un cas particulier du point adhérent à un ensemble ?
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: questions
Bonjour,
oui c'est cela :
-\(x\) est un point d'accumulation d'un ensemble A si tout voisinage de \(x\) contient un point de A différent de \(x\)
- \(x\) est un point adhérent de A si tout voisinage de \(x\) contient un point de A (\(x\) compris)
Un point d'accumulation \(a\) de A est un cas particulier de point adhérent : dans tout voisinage de \(a\) on peut trouver (au moins) un point \(b\) de A qui soit distinct de \(a\).
Tout point d'accumulation de A est un point adhérent de A, mais la réciproque est fausse.
Exemples : 0 est point d'accumulation de \(A=\lbrace\frac{1}{n^2},n\in\mathbb{N}^*\rbrace\)
En revanche, on peut trouver un point adhérent de A qui ne soit pas un point d'accumulation de A, il suffit de prendre un point isolé de A.
Par exemple si \(A=\lbrace 0\rbrace \cup}0\,;\,1]\), 0 est bien un point adhérent à A mais ce n'est pas un point d’accumulation car il existe un voisinage de 0 qui ne contient pas d'autre point de A que 0 lui-même.
Est-ce plus clair ?
oui c'est cela :
-\(x\) est un point d'accumulation d'un ensemble A si tout voisinage de \(x\) contient un point de A différent de \(x\)
- \(x\) est un point adhérent de A si tout voisinage de \(x\) contient un point de A (\(x\) compris)
Un point d'accumulation \(a\) de A est un cas particulier de point adhérent : dans tout voisinage de \(a\) on peut trouver (au moins) un point \(b\) de A qui soit distinct de \(a\).
Tout point d'accumulation de A est un point adhérent de A, mais la réciproque est fausse.
Exemples : 0 est point d'accumulation de \(A=\lbrace\frac{1}{n^2},n\in\mathbb{N}^*\rbrace\)
En revanche, on peut trouver un point adhérent de A qui ne soit pas un point d'accumulation de A, il suffit de prendre un point isolé de A.
Par exemple si \(A=\lbrace 0\rbrace \cup}0\,;\,1]\), 0 est bien un point adhérent à A mais ce n'est pas un point d’accumulation car il existe un voisinage de 0 qui ne contient pas d'autre point de A que 0 lui-même.
Est-ce plus clair ?
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Benjamin
Re: questions
C'est parfait !!! Merci infiniment !!