géométrie dans l'espace

[Méline]

Bonjour je dois faire un exerice de géométrie dans l'espace mais j'ai des difficultés :

Voici l'énoncé:
ABCDEFGH est un cube d'arrête a. En calculant de deux manières le volume du téraèdre HACF, démontrer que la distance de B au plan (ACF) est égale à (a racine de 3)/3.

Note: la distance de B au plan (ACF) est la longueur BB' où B' désigne le projeté orthogonal de B dur le plan (AFC).

Alors je pense avoir réussi le calcul du volume avec une 1ère méthode: on utilise V=1/3xBxH ce qui donne (a²/2)x a x (1/3)= a^3/6 est ce bien ça ?

Je n'arrive pas à trouver la 2ème méthode de calcul et je n'arrive pas à calculer la distance de B au plan (ACF) je veux bien de l'aide s'il vous plaît.

[sos-math(20)]

Bonjour Méline,

N'y aurait-il pas une erreur dans ton énoncé : ne s'agirait-il pas plutôt du tétraèdre BACF ?

SOS-math

[Méline]

non non c'est bien HACF...

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ton tétraèdre HACF peut se calculer en prenant le volume du cube auquel on enlève 4 tétraèdres de même volume facile à calculer.
Je te laisse reprendre cela : ta réponse est fausse.
Bon courage

[Méline]

d'accord merci beaucoup .

donc je prends bien la formule du cube v= a^3 et pour le tétraèdre v= base x hauteur x (1/3) ????

du coup comme en enlève 4 tétraèdre je multiplie le volume du tétraèdre par 4: v= (base x hauteur x 1/3) x4 mais je dois prendre quelle base et quelle hauteur pour faire mon calcul ??

[sos-math(21)]

Ta formule du volume d'un tétraèdre est correcte.
Les quatre tétraèdres à enlever sont 4 "coin" de cube, ce sont des tétraèdres de base un demi carré de face et de hauteur une arête du cube.
Je t'envoie un lien d'une figure GeoGebra pour que tu voies mieux : n'hésite pas à faire tourner la figure :
https://web.geogebra.org/app/?id=365729
Bon calcul.

[Méline]

d'accord merci pour le lien !

du coup:

le volume du cube
qui vaut vcube = a^3

le voulume d'un tétraèdre
v= (1/3) x base x hauteur
v= (1/3) x (a²/2) x a
v= (a^4/6)

le volume des 4 tétraèdres
(a^4/6) x 4 = (4a^4)/6= (2a^4)/3

Par soustraction on obtient le calcul suivant
volume du cube - le volume des 4 tétraèdre
a^3 - (2a^4)/3

mes calculs sont-ils corrects ??

[sos-math(21)]

C'est "presque" bon,
n'oublie pas que pour un calcul de volume, les puissances ne peuvent pas dépasser 3 !

v= (1/3) x (a²/2) x a =(1/3)*(1/2)*a²*a=(1/6)*a^3
....

Reprends cela et ton volume pourra se simplifier.
Bon calcul

[Méline]

ah oui j'avais oublié pour les puissances merci

du coup j'ai trouvé a^3/3 est-ce correct ??



Ensuite il faut calculer la distance BB' et trouver qu'elle est orthogonale à ACF donc j'ai fais un dessin et elle est perpendiculaire à (FC) du coup je dois la trouver en utilsant la formule du volume du tétraèdre ??

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela.
Tu peux ensuite utiliser ce volume pour trouver la distance de H au plan ACF et l'aire du triangle ACF puis tu déduiras la hauteur du tétraèdre sachant la hauteur est portée par la diagonale (BH).
Je reste persuadé qu'il y a une erreur dans ton énoncé.
Cela me paraît tordu d'aller considérer le tétraèdre HACF, pour obtenir des résultats sur BACF qu'on aurait pu avoir directement ce qu'on voulait à partir de ce tétraèdre.
Bon courage tout de même.

[Méline]

j'ai revérifié sur mon polycopié c'est bien le tétraèdre HACF mais peut être que c'est une erreur du professeur..

Du coup d'après la figure géogebra on remarque que la diagonale HF relie H au plan (ACF)
on remarque aussi que HEF est un triangle rectangle dont l'hypoténuse correpond à la diagonale (HF) on applique donc le th de pythagore:

a²+a²=2a²

est ce que cette valeur correspond bien à la distance de H au plan (ACF) ?

Ensuite pour l'aire du triangle ACF
Aire triangle rectangle = (base x hauteur) /2
=( FC x FA ) /2
= a²/2

du coup j'ai la hauteur de mon tétraèdre qui est HF et sa base qui est ACF
volume,tétra= (1/3) x base x hauteur /2
= (1/3) x 2a² x a²/2

[sos-math(21)]

l'aire d'un triangle est bien (base x hauteur)/2 sauf que dans ton calcul AC et AF sont deux côtés : cela ne va pas.
Considère ton triangle ACF : c'est un triangle équilatéral de côté \(a\sqrt{2}\) : applique le théorème de pythagore pour trouver la hauteur de ce triangle et en déduire l'aire de ce triangle.
(Tu dois trouver\(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\)). Sers-toi en pour dire que l'aire de BACF qui est \(\frac{a^3}{6}\) est aussi égale à \(\frac{1}{3}\times BB'\times \mbox{(aire de ACF)}\).
Tu dois retrouver BB'.
Bon calcul

[Méline]

D'accord merci beaucoup j'ai très bien compris la méthode mais je ne parviens pas à trouver racine de 3 x a²... Je crois que je m'embrouille avec les racines ...

[sos-math(21)]

Je t'envoie un dessin afin que tu comprennes mieux :

Bon calcul

[Méline]

Merci pour votre aide, nous avons effectué la correction de l'exercice en classe qui ressemblait à ce que j'ai fait (avec votre aide) .