Démonstration dérivée de sinus et cosinus

[lola]

Bonjour,

Je dois démontrer que la fonction sinus est dérivable et que sa dérivée est la fonction cosinus

Pour cela on doit démontrer tout d'abord que [sin(a+h)-sin(a)]/h = [(sin(h/2))/(h/2)]*cos (a+(h/2))

Tout d'abord je voulais commencez par faire [sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)-sin(a)]/h

Mais après je vois pas comment faire?

Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Est-ce que tu connais les formules de trigonométrie ?
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) ;
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
donc en soustrayant :
sin(a+b)-sin(a-b)=2cos(a)sin(b). en prenant a+h/2 à la place de a et h/2 à la place de b, on a \(a+b=a+h\) et \(a-b=a\)
on a donc \(sin(a+h)-sin(a)=2cos(a+h/2)sin(h/2)\), d'où la formule demandée.
Je te laisse étudier tout cela à tête reposée.
Bon courage

[Lola]

Bonjour, merci de votre aide mais je ne comprends pas tout.

Certes sin(a+b)-sin(a-b)= 2cos(a)*sin(b) sauf que je ne comprends pas comment vous pouvez utilisez cette formule puisqu'on a sin(a+h)-sin(a) et non sin(a+h)-sin(a-b)
Je ne comprends pas non plus pourquoi vous remplacez a par a+h/2 et b par h/2 ?

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
on va écrire la formule avec des \(x\) et des \(y\) afin de ne pas te perturber :
\(sin(x+y)-sin(x-y)=2cos(x)sin(y)\)
cette formule est vraie pour n'importe quels réels \(x\) et \(y\), il s'agit alors de l'appliquer aux bons réels :
si on prend pour \(x=a+\frac{h}{2}\) et \(y=\frac{h}{2}\), alors \(x+y=a+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}=a+h\) et \(x-y=a+\frac{h}{2}-\frac{h}{2}=a\) donc la formule devient bien \(sin(a+h)-sin(a)=2cos(a+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})\).
Je ne vois pas comment expliquer autrement.
Bon courage