borne supérieure

[Gautier]

Bonsoir

La propriété de la borne supérieure s'applique à R et ne s'applique pas à Q, je ne comprends pas pourquoi, car Q est inclus dans R, donc si une propriété est valable sur R elle l'est également sur Q, non ?

Merci de m'éclairer

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Je ne sais pas de quelle propriété tu parles mais dans tous les cas la notion de borne supérieure est liée au fait que R est "complet", entre deux réels il n'y a que des réels, ce qui n'est pas le cas de Q, par exemple : \(\sqrt 2\) est entre deux rationnels mais n'est pas un rationnel.
Donc Q est "plein de trous" qui sont comblés par les irrationnels.

Bonne continuation

[Gautier]

Est-ce que ceci a un lien avec la notion de la densité ?

[sos-math(27)]

Bonjour,
Sans doute, c'est la densité qui est impliqué, mais vous n'avez toujours pas précisé de quelle propriété vous parlez

Bonsoir

La propriété de la borne supérieure s'applique à R et ne s'applique pas à Q, je ne comprends pas pourquoi, car Q est inclus dans R, donc si une propriété est valable sur R elle l'est également sur Q, non ?

Merci de m'éclairer

D'autre part, pour ces ensembles, tout dépend des propriétés : ils sont de nature différentes (dénombrable et non dénombrable) et l faut donc se garder de conclusions trop hâtives.
A bientôt

[Gautier]

Toute partie non vide et majoré de R possède une borne supérieure dans R, voilà la propriété dont je parle

[sos-math(27)]

Donc cette propriété de R ne peut s'appliquer à Q , qui est inclu et différent de R.
Avons nous répondu à votre interrogation ?

[Gautier]

Je vous avoue que je n'arrive pas vraiment à comprendre pourquoi Q n'a pas de borne supérieure

[sos-math(27)]

Parce que l'on peut construire une suite dans Q, qui est croissante et majorée donc convergente, mais dont la limite de sera pas dans Q (mais dans R). La borne supérieure n'appartiendra pas à Q.
Ma réponse est très simplifiée, mais j'avoue les limites de ma compétence à expliquer en détail ces raisonnements là.
Cela vous convient-il ?